[論文レビュー] Superreplication under Model Uncertainty in Discrete Time

Marcel Nutz|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、離散時間金融市場におけるモデル不確実性下で最適なスーパーリプレケーション戦略の存在を確立し、最小スーパーリプレケーション価格を特徴づける。メディアル極限とスーパーリプレケーション可能証券の集合の閉性に関する結果を用いて、最小価格がバナッハ空間上の連続線形価格関数の上限に等しいことを証明し、古典的な双対性を非支配的でキーンティアン的不確実性の設定に一般化する。

ABSTRACT

We study the superreplication of contingent claims under model uncertainty in discrete time. We show that optimal superreplicating strategies exist in a general measure-theoretic setting; moreover, we characterize the minimal superreplication price as the supremum over all continuous linear pricing functionals on a suitable Banach space. The main ingredient is a closedness result for the set of claims which can be superreplicated from zero capital; its proof relies on medial limits.

研究の動機と目的

• 真の確率モデルが未知であり、複数の測度が考慮される状況において最適スーパーリプレケーション戦略の存在を確立すること。
• 一般の測度論的枠組みにおいて、最小スーパーリプレケーション価格を連続線形価格関数の上限として特徴づけること。
• 支配的確率測度が存在しない非支配的モデルに古典的スーパーリプレケーション双対性を拡張すること。
• 離散時間金融市場におけるキーンティアン的不確実性に起因する計算的・理論的課題に対処すること。
• モデルリスク下での継続的クレームの価格設定とヘッジのための強固なフレームワークを提供すること。

提案手法

• メディアル極限を用いて、ゼロ資本からスーパーリプレケーション可能な証券の集合がL1ノルムにおいて閉じていることを証明する。
• ハーン＝バナッハの定理を適用して、証券をスーパーリプレケーション錐から分離し、連続線形関数を導出する。
• 最小スーパーリプレケーション価格を、証券のバナッハ空間上の連続線形関数の上限として特徴づける。
• 集合𝒫に属する各モデルがマルティングール測度であると仮定し、各P ∈ 𝒫を同値マルティングール測度に置き換える。
• 非支配的かつモデル不確実な設定下で、資産運用プロセスと線形価格関数の間の双対性を確立する。
• L1における逐次収束を用いて、特にデルタ関数測度を含む反例において、関数の連続性の性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデル不確実性が存在し、モデルの集合が非支配的である場合、最適スーパーリプレケーション戦略は存在するか？
• RQ2 一般の測度論的枠組みにおいて、最小スーパーリプレケーション価格は連続線形関数の上限として特徴づけられるか？
• RQ3 価格関数の上限が𝒫内での本質的上限と一致するための条件は何か？
• RQ4 メディアル極限の使用が、L1におけるスーパーリプレケーション錐の閉性の証明をどのように可能にするか？
• RQ5 L1上での逐次連続関数が位相的連続でない場合、どのような条件下で生じるか、そしてこれにより価格関数にどのような含意が生じるか？

主な発見

• モデル不確実性下の離散時間において、任意の継続的クレームに対して最適スーパーリプレケーション戦略が存在する。
• 最小スーパーリプレケーション価格は、適切なバナッハ空間上のすべての連続線形価格関数の上限として与えられる。
• ゼロ資本からスーパーリプレケーション可能な証券の集合はL1ノルムにおいて閉じており、これはメディアル極限を用いて証明された重要な結果である。
• 双対性の結果は、支配的確率測度の必要性を排除することで、古典的スーパーリプレケーション双対性を非支配的モデルに一般化する。
• 反例により、L1上での逐次連続線形関数が必ずしも位相的連続でないことが示され、モデル不確実な設定における収束の微妙さが浮き彫りになる。
• σ-代数の普遍的完備性の仮定のもとで、双対性フレームワークの技術的堅牢性が保証される。