[論文レビュー] On robust pricing-hedging duality in continuous time

Zhaoxu Hou, Jan Obłój|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、許容可能な経路の集合を通じてモデルの信念を組み込むことにより、連続時間金融市場における強固な価格設定・ヘッジの双対性を確立する。これは、モデルに依存しない手法とモデルに依存する手法の間を橋渡しする。本稿は、下界のスーパーレプリケーション価格が、キャリブレーション済みマルティンググール測度の下での期待ペイオフの上界に等しいことを証明し、DolinskyとSonerのマルティンググール最適輸送双対性を複数の資産および複数の満期に拡張する。

ABSTRACT

We pursue robust approach to pricing and hedging in mathematical finance. We consider a continuous time setting in which some underlying assets and options, with continuous paths, are available for dynamic trading and a further set of European options, possibly with varying maturities, is available for static trading. Motivated by the notion of prediction set in Mykland (2003), we include in our setup modelling beliefs by allowing to specify a set of paths to be considered, e.g. super-replication of a contingent claim is required only for paths falling in the given set. Our framework thus interpolates between model-independent and model-specific settings and allows to quantify the impact of making assumptions or gaining information. We obtain a general pricing-hedging duality result: the infimum over superhedging prices is equal to supremum over calibrated martingale measures. In presence of non-trivial beliefs, the equality is between limiting values of perturbed problems. In particular, our results include the martingale optimal transport duality of Dolinsky and Soner (2013) and extend it to multiple dimensions and multiple maturities.

研究の動機と目的

• モデルの信念を許容可能な経路の集合として組み込むことにより、モデルに依存しない価格設定とモデルに依存する価格設定の間を滑らかに接続する統一的枠組みを構築すること。
• 連続時間における複数の資産および複数の満期にわたって、マルティンググール最適輸送双対性を一般化すること。
• すべての経路ではなく、指定された経路集合でのみスーパーレプリケーションが要求されるロバストな設定において、価格設定・ヘッジの双対性を確立すること。
• 摂動問題の極限挙動を分析することにより、モデル仮定や情報の獲得がもたらす影響を定量化すること。
• クラシカルなアービタージュなしの価格設定とヘッジの双対性を、キーニアンの不確実性と情報の不完全性を伴う設定に拡張すること。

提案手法

• モデルの信念を表す指定された経路集合でのみ継続的ヘッジが要求されるロバストな枠組みを定義する。
• キャリブレーション済みマルティンググール測度を用いて、価格設定・ヘッジの双対性の双対側を表現し、取引可能オプションの市場価格と整合することを保証する。
• ブラウン運動の増分の独立性と強マルコフ性を用いて、停止時刻およびジャンプサイズの再帰的分布を導出する。
• ブラウン運動の増分としきい値関数 $\Theta_k$, $\Upsilon_k$ を含む再帰的条件を用いて、停止時刻 $\sigma_k$ と確率変数 $Y_k$ を構築する。
• プロセス $((\vec{\sigma}_{m_0}; \vec{Y}_{m_0}))$ の同時分布を導出し、参照測度 $\hat{\mathbb{Q}}$ の下で $((\vec{\hat{\tau}}_{m_0}; \vec{\Delta\hat{\mathbb{S}}}_{m_0}))$ の分布と一致することを示す。
• 再帰的式 $\Psi_k$, $\Phi_k$, $\Theta_k$, $\Upsilon_k$ を用いて遷移確率を特徴付け、経路制約と整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モデルの信念をどのように形式的に連続時間の価格設定とヘッジに組み込み、その影響を定量化できるか？
• RQ2 スーパーレプリケーションが経路の部分集合でのみ要求される場合、価格設定・ヘッジの双対性の正確な形は何か？
• RQ3 マルティンググール最適輸送双対性は、連続時間において複数の資産および複数の満期に拡張可能か？
• RQ4 経路集合の摂動が、スーパーレプリケーションとキャリブレーション済み測度下での期待ペイオフの間の双対関係にどのように影響するか？
• RQ5 強マルコフ性と再帰的構成は、経路制約下での双対性の確立において果たす役割は何か？

主な発見

• すべての戦略における下界のスーパーレプリケーション価格は、すべてのキャリブレーション済みマルティンググール測度下での期待ペイオフの上界に等しい。これは、スーパーレプリケーションが経路の集合に制限されていても成り立つ。
• 非自明なモデルの信念（つまり、経路集合が制限されている）が存在する場合、摂動問題の極限において双対性が成り立ち、極限値同士が等しくなる。
• 本フレームワークは、DolinskyとSonerのマルティンググール最適輸送双対性を多次元および複数の満期に一般化する。
• 構築された停止時刻とジャンプサイズの同時分布は、キャリブレーション済み測度 $\hat{\mathbb{Q}}$ の下での参照プロセスの分布と一致し、双対性構造の妥当性を裏付ける。
• $\sigma_k$ と $Y_k$ の再帰的構成は、経路制約およびマルコフ性と整合し、双対性の証明を可能にする。
• 再帰的定義における $0/0 \equiv 0$ の取り扱いにより、確率が消える場合の振る舞いが適切に定義され、退化ケースにおいても双対性が保たれる。