[論文レビュー] Martingale Optimal Transport and Robust Hedging in Continuous Time

Yan Dolinsky, H. Meté Soner|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続時間市場における経路に依存するヨーロピアン・オプションのロバストヘッジとマーティングール・オプティマル・トランスポート問題との間に、カンタロヴィッチ型の双対性を確立する。最小のスーパーリプレケーションコストが、満期における固定された周辺分布を持つすべてのマルティングール測度の下でのオプションの期待ペイオフの上界に等しくなることを証明し、漸近的にこのコストに達する区分的定数ポートフォリオを構築する。

ABSTRACT

The duality between the robust (or equivalently, model independent) hedging of path dependent European options and a martingale optimal transport problem is proved. The financial market is modeled through a risky asset whose price is only assumed to be a continuous function of time. The hedging problem is to construct a minimal super-hedging portfolio that consists of dynamically trading the underlying risky asset and a static position of vanilla options which can be exercised at the given, fixed maturity. The dual is a Monge-Kantorovich type martingale transport problem of maximizing the expected value of the option over all martingale measures that has the given marginal at maturity. In addition to duality, a family of simple, piecewise constant super-replication portfolios that asymptotically achieve the minimal super-replication cost is constructed.

研究の動機と目的

• 連続時間金融市場におけるモデルに依存しないロバストヘッジとマーティングール・オプティマル・トランスポートの間の双対性を確立すること。
• 基礎資産の特定の確率的モデルを仮定せずに、経路に依存するオプションの最小スーパーリプレケーションコストを特徴付けること。
• 最小スーパーリプレケーションコストに漸近的に到達するシンプルな区分的定数ポートフォリオの族を構築すること。
• 支配測度や同等のマルティングール測度の仮定なしに、古典的な双対枠組みを連続時間設定へと拡張すること。

提案手法

• 基礎資産における動的取引とバニラ・オプションにおける静的ヘッジを用いたスーパーリプレケーションコストの最小化として、ロバストヘッジ問題を定式化する。
• 与えられた満期周辺分布を持つすべてのマルティングール測度の下での継続的クレームの期待ペイオフを最大化する双対問題を導入する。
• 経路に依存するクレームを扱うために、停止時刻を用いた価格過程の離散化と区分的定数近似を採用する。
• プロホロフ距離と弱収束の議論を用いて、元の過程と離散化された過程の間の近似誤差を制御する。
• ドーブの最大不等式とモーメントバウンドを用いて、過程の近似における大きな逸脱の確率を制御する。
• 収束結果を導出するために、関数 $ G $ に関する重要な仮定（仮定 2.1）に依存する。この仮定は線形成長と可測性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間で、モデルに依存せず、連続な価格過程を持つ市場において、最小スーパーリプレケーションコストの双対表現は何か？
• RQ2 最小スーパーリプレケーションコストに漸近的に到達するシンプルで区分的定数ポートフォリオの列をどのように構築できるか？
• RQ3 同等のマルティングール測度や支配測度の仮定なしに、ロバストヘッジとマーティングール・オプティマル・トランスポートの双対性はどの程度成立するか？
• RQ4 仮定 2.1 を満たすクラスを超えた一般の経路に依存するオプションに対しても、双対性は拡張可能か？
• RQ5 価格過程の離散化における近似誤差が極限で消える条件は何か？

主な発見

• 経路に依存するヨーロピアン・オプションの最小スーパーリプレケーションコストは、固定された満期周辺分布を持つすべてのマルティングール測度の下でのオプションの期待ペイオフの上界に等しい。
• 最小コストに漸近的に到達する区分的定数スーパーリプレケーション・ポートフォリオの族が構築され、その誤差は離散化レベル $ N $ が増加するにつれて $ \frac{1}{N} + \frac{1}{N^{1/2q}} $ の割合で減少する。
• 近似誤差は、リプシッツ定数 $ L $、バウンド $ K $、および満期ペイオフの $ L^p $-ノルムに依存する関数 $ f_K(\theta, N) $ で有界であり、$ \theta $ および $ N $ における明示的な減少率を持つ。
• 同等のマルティングール測度や支配測度の仮定なしに双対性が成立するため、広範なモデルに依存しない価格設定問題に適用可能である。
• 有界または多項式成長するペイオフに対しては、仮定 2.1 を満たす関数で近似し、極限を取ることで証明手法を拡張できる。
• 多資産市場やジャンプ・ドリフト過程へもフレームワークを拡張可能であるが、適切な停止時刻と離散化スキームの構築がより複雑になる。