[論文レビュー] Supersymmetry of the chiral de Rham complex II: Commuting Sectors

Reimundo Heluani|ArXiv.org|Jun 5, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Calabi-Yau多様体のchiral de Rham複体に、複素構造とKähler形式を用いて2つの可換なN=2超共形構造を構成し、これらが両方のN=2対称性を保存する非線形自己同型を生成することを証明する。超Kählerの場合には、これにより2つの可換なN=4超ボソン代数に拡張され、弦理論の compactification における拡張された超対称性の幾何的実現が得られる。

ABSTRACT

We construct two commuting N=2 structures on the space of sections of the chiral de Rham complex (CDR) of a Calabi-Yau manifold. We use this extra supersymmetry to construct a non-linear automorphism of CDR preserving these N=2 structures. Finally, we show how to extend these results to construct a commuting pair of N=4 super-vertex algebras in the Hyper-Kahler case.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体のchiral de Rham複合体（CDR）に2つの可換なN=2超共形構造を構成すること。
• 両方のN=2構造を保存するCDRの非線形自己同型を定義すること。
• 超Kähler多様体にこの構成を拡張し、2つの可換なN=4超ボソン代数の存在を示すこと。
• Kähler形式および複素構造に関連する超場を用いて、半-twisted sigmaモデルの拡張超対称性を幾何的に実現すること。

提案手法

• Kähler形式 $ \omega $ から超場 $ J_{\rho} $ を構成し、任意のKähler多様体上でN=2超共形構造を生成すること。
• Calabi-Yau多様体において、計量からの超場 $ H $、複素構造からの $ J $、Kähler形式からの $ J_{\omega} $ が2つの可換なN=2構造を生成することを示すこと。
• Levi-Civita接続と計量を用いて、微分形式とベクトル場を入れ替える新しい超対称変換を定義し、新たな超場 $ \tilde{a}_i $ を得ること。
• 計量による $ \phi^i $ と $ \psi_i $ の役割の交換を用いて、CDRの非線形自己同型を構成し、両方のN=2構造を保存すること。
• 超Kählerの場合には、3つの複素構造 $ J_i $ と3つのKähler形式 $ \omega_i $ に対応する3つの超場 $ J_i $ と $ J_{\omega_i} $ を定義し、これらが2つの可換なN=4超ボソン代数を生成することを示すこと。
• SUSY リー共形代数の公理とヤコビ恒等式を用いて、超共形代数の閉包性と可換性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kähler多様体のchiral de Rham複合体に、Kähler形式を用いて第二のN=2超共形構造を構成できるか？
• RQ2 複素構造とKähler形式が生成するN=2構造が、Calabi-Yau多様体上で可換か？
• RQ3 Calabi-Yau多様体上で、両方のN=2構造を保存するchiral de Rham複合体の非線形自己同型が存在するか？
• RQ4 この構成を超Kähler多様体に拡張し、2つの可換なN=4超ボソン代数を導出できるか？
• RQ5 超Kählerの場合における超共形生成子の代数的構造は何か？また、それらは基礎となる幾何にどのように関係するか？

主な発見

• 任意のKähler多様体において、Riemann計量からの超場 $ H $ とKähler形式からの $ J_{\omega} $ が、中心指数 $ 3\dim_{\mathbb{R}}M $ のN=2超共形構造を生成する。
• Calabi-Yau多様体において、複素構造 $ J $ とKähler形式 $ \omega $ が生成するN=2構造は可換であり、中心指数 $ 3\dim_{\mathbb{C}}M $ のN=2の2つの可換コピーをもたらす。
• 計量が $ bc-\beta\gamma $ システムに作用することによって誘導される非線形自己同型が、CDRに構成され、両方のN=2構造を保存する。
• 超Kählerの場合、3つの複素構造 $ J_i $ と3つのKähler形式 $ \omega_i $ が6つの超場を生じ、これらが中心指数 $ 3\dim_{\mathbb{C}}M $ の2つの可換なN=4超ボソン代数を生成する。
• SUSY リー共形代数のヤコビ恒等式を用いて、N=4構造の代数的閉包が検証され、超共形代数の整合性が確認される。
• N=4構造の中心指数は $ c = 12n $（$ n = \dim_{\mathbb{C}}M $）であり、$ N=4 $代数は超場 $ J_1^\pm = \frac{1}{2}(J_1 \pm J_{\omega_1}) $ などによって実現される。