[論文レビュー] Surgery operations to fold maps to increase connected components of singular sets by two

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、目的多様体上の制御された位相的変更を用いて、特異集合の連結成分の数を正確に2つ増加させる、折りたたみ写像における新規な手術操作を導入する。この方法は、以前のバブルリング操作を一般化し、特異集合の位相的構造を制御可能な方法で変更できる構成的技法を提供し、高次元多様体上の新たな折りたたみ写像の構成を可能にし、折りたたみ写像理論による多様体構造の理解を前進させる。

ABSTRACT

In geometry, understanding the topologies and the differentiable structures of manifolds in constructive ways is fundamental and important. It is in general difficult, especially for higher dimensional manifolds. The author is interested in this and trying to understand manifolds via construction of explicit fold maps: differentiable maps locally represented as product maps of Morse functions and identity maps on open balls. Fold maps have been fundamental and useful in investigating the manifolds by observing (the sets of) singular points and values and preimages as Thom and Whitney's pioneering studies and recent studies of Kobayashi, Saeki, Sakuma, and so on, show. Here, construction of explicit fold maps on explicit manifolds is difficult. The author constructed several explicit families of fold maps and investigated the manifolds admitting the maps. Main fundamental methods are surgery operations (bubbling operations), the author recently introduced motivated by Kobayashi and Saeki's studies such as operations to deform generic differentiable maps whose codimensions are negative into the plane preserving the differentiable structure of the manifold in 1996 and so on. We remove a neighborhood of a (an immersed) submanifold consisting of regular values in the target space, attach a new map and obtain a new fold map such that the number of connected components of the set consisting of singular points increases. In this paper, we investigate cases where the numbers increase by two and obtain cases of a new type.

研究の動機と目的

• 特異集合の連結成分の数を正確に2つ増加させる体系的な手術操作を開発すること。
• 折りたたみ写像理論における既存のバブルリング操作を拡張し、高次元多様体上に新しい明示的な折りたたみ写像を構成すること。
• 元の源多様体の微分構造を保ちつつ折りたたみ写像を変更する構成的技法を提供すること。
• このような手術がリーブ空間および定義域多様体のコhomological不変量に与える位相的影響を調査すること。
• 制御された位相的変更の下で、安定な折りたたみ写像およびその特異集合の挙動に関する以前の結果を一般化すること。

提案手法

• 特異値集合から離れており、正則値からなる部分多様体の近傍を、目的多様体から除去する手術操作を実行する。
• 除去された近傍の補集合に、元の多様体の微分構造を保つ新しい折りたたみ写像を貼り付ける。
• 構成法により、特異集合の連結成分が正確に2つ増加することが保証され、除去領域の境界に沿った制御された貼り合わせによって達成される。
• この方法は、特異集合の像の交差が正規であり、各像の逆像が正確に2点からなる安定な折りたたみ写像に依存している。
• リーブ空間は、修正された折りたたみ写像のグローバル構造を分析するための位相的不変量として用いられる。
• 小林と佐伯による以前のバブルリング操作を一般化し、特異集合の成分を1つではなく2つ増加させるように適応した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異集合の連結成分を正確に2つ増加させるような手術操作は、どのように設計できるか？
• RQ2 手術後に写像が安定な折りたたみ写像のままであることを保証するための位相的制約は何か？
• RQ3 手術は源多様体のリーブ空間およびコhomological不変量にどのように影響を与えるか？
• RQ4 このような手術を、高次元多様体上に新しい折りたたみ写像族を構成するために体系的に行うことは可能か？
• RQ5 正規交差および逆像構造が、特異集合の複雑さを制御的に増加させる役割を果たす仕組みは何か？

主な発見

• 手術操作により、特異集合の連結成分の数が正確に2つ増加し、新たなタイプの位相的変更が達成された。
• 得られた写像は安定な折りたたみ写像のままであり、特異集合の像のすべての交差が正規であり、逆像が正確に2点からなる。
• 新しい折りたたみ写像のリーブ空間は、位相的変化を反映しており、定義域とリーブ空間のコホモロジー群は、$m - n - 1$ 以下の次数まで同型である。ここで $m$ と $n$ はそれぞれ定義域と目的多様体の次元を表す。
• この構成法により、元の多様体の微分構造が保たれ、写像が滑らかでかつproperなままであることが保証される。
• この方法は、特異集合の複雑さを2つの成分だけ増加させる制御された方法を許容するように、以前のバブルリング操作を一般化している。
• 区分的滑らかおよびPLカテゴリーにおける構成により、リーブ空間に収縮する$(m+1)$次元のPL多様体の存在が確認され、手術の位相的整合性が裏付けられた。