[論文レビュー] Symmetric semi-algebraic sets and non-negativity of symmetric polynomials

Cordian Riener|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、対称多項式の非負性を証明するためのTimofteの半次数および次数の原則を一般化し、その表現をべき和多項式に基づくものとして利用する。対称多項式がべき和の部分集合に対してスパースである場合、低複雑性の対称的多様体（異なる成分が少ない）上で非負であれば、それが全体としての非負性を示すことになり、対称的半代数的集合における効率的な最適化および決定手続きを可能にする。

ABSTRACT

The question of how to certify the non-negativity of a polynomial function lies at the heart of Real Algebra and it also has important applications to Optimization. In the setting of symmetric polynomials Timofte provided a useful way of certifying non-negativity of symmetric polynomials that are of a fixed degree. In this note we present more general results which naturally generalize Timofte's setting. We investigate families of polynomials that allow special representations in terms of power-sum polynomials.These in particular also include the case of symmetric polynomials of fixed degree. Therefore, we recover the consequences of Timofte's original statements as a corollary. Thus, this note also provides an alternative and simple proof of Timofte's original statements.

研究の動機と目的

• べき和多項式生成子 $ p_i = \sum X_j^i $ を用いた対称多項式の基本定理に基づき、べき和多項式表現を用いて、対称多項式のTimofteの半次数および次数の原則を一般化すること。
• 部分集合 $ J \subset \{1,\dots,n\} $ のべき和にのみ依存する、対称多項式のスパース表現を特徴付けること。
• 高度な代数幾何学を避けて、べき和構造を用いた非負性証明の初等的証明を提供すること。
• 次数 $ 2d $ の対称多項式が、$ \leq d $ 個の異なる成分を持つ低複雑性の対称的多様体上で非負であれば、それが全体として非負であることを確立すること。
• トポロジー的および代数的議論を用いて、これらの結果をコポジティブネスおよび対称的半代数的集合の妥当性に拡張すること。

提案手法

• 対称多項式を基本定理に基づき、べき和生成子 $ p_i = \sum X_j^i $ を用いて表現する。
• 部分集合 $ J \subset \{1,\dots,n\} $ のべき和にのみ依存する多項式を表す「$ J $-スパース性」の概念を導入する。
• 対称的等高線集合 $ H(a_1,\dots,a_k) $ に対してラグランジュ乗数法を適用し、最小化点が高々 $ k $ 個の異なる成分を持つ点の集合 $ A_k $ に属することを示す。
• 補題3.2を用いた局所的摂動議論により、非退化条件のもとで、$ k $ 個より多くの異なる成分を持つ最小化点は存在しえないことを示す。
• 非負性証明問題を、$ n $ の $ k $ 分割によってパrameter化される、低次元の対称的多様体の有限個の和集合での非負性の確認に還元する。
• 偶数次の対称和にのみ依存する $ f(X_1^2,\dots,X_n^2) $ を考える事で、コポジティブネスへの拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Timofteの半次数の原則は、全べき和基底を超えて、べき和のスパース部分集合へ一般化可能か？
• RQ2 対称多項式が高々 $ d $ 個の異なる成分を持つ多様体上で非負であれば、それが全体として非負であることを保証する条件は何か？
• RQ3 べき和多項式の構造は、対称最適化問題における非負性証明をどのように効率化するか？
• RQ4 対称多項式の非負性は、成分数が有界な対称的多様体上での挙動によって決定され、これはべき和生成子におけるスパース性とどのように関係するか？
• RQ5 べき和生成子の選択が、次数および半次数の原則の有効性に影響を与えるか？また、他の基底が同様の結果をもたらす可能性はあるか？

主な発見

• 次数 $ 2d $ の対称多項式が $ \mathbb{R}^n $ 上で非負であることは、高々 $ d $ 個の異なる成分を持つ点上で非負であることに同値であり、これはTimofteの半次数の原則を一般化する。
• べき和の集合 $ J $ にスパースに依存する対称多項式について、対応する対称的多様体上で非負であれば、それが全体として非負であることが保証され、計算複雑度は $ n $ に対して多項式的依存にまで低減される。
• 対称的等高線集合 $ H(a_1,\dots,a_k) $ 上での対称多項式の最小化点集合は、高々 $ k $ 個の異なる成分を持つ点の集合 $ A_k $ と交わる。これは弱い条件下でも成立する。
• 対称多項式 $ f $ が高々 $ k $ 個の異なる成分を持つ点で非負であれば、$ f $ は全体として非負である。これは $ f $ が完全な対称多項式でなくても成立する。
• 結果はコポジティブネスへ拡張可能である：$ f(X_1^2,\dots,X_n^2) $ が非負であれば、$ f $ はコポジティブであり、これは低複雑性の対称的多様体上で確認可能である。
• 証明はべき和多項式の構造に依存しており、非退化な最小化点は低複雑性の対称的局所集合にのみ存在しうることを示し、これによりアルゴリズム的証明が可能になる。