[論文レビュー] Symmetry-protected topological phases and orbifolds

Olabode Mayodele Sule, Xiaohong Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2013

Topological Materials and Phenomena被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元の対称性保護型トポロジカル位相が保護対称性を破らずにギャップを閉じられるかどうかを診断するための指標として、エッジ理論の分割関数のモジュラー不変性が有効であると提唱する。ボソン的K行列理論とフェルミオン的トポロジカル超伝導体を分析することで、モジュラー不変性が対称性を保ったままエッジ状態を完全にギャップさせる相互作用ポテンシャルの構成を可能にすることを示し、モジュラー性とトポロジカル安定性の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

We consider non-chiral symmetry-protected topological phases of matter in two spatial dimensions protected by a discrete symmetry such as $\mathbb{Z}_K$ or $\mathbb Z_K imes \mathbb Z_K $ symmetry. We argue that modular invariance/non-invariance of the partition function of the one-dimensional edge theory can be used to diagnose if, by adding a suitable potential, the edge theory can be gapped or not without breaking the symmetry. By taking bosonic phases described by Chern-Simons $K$-matrix theories and fermionic phases relevant to topological superconductors as an example, we demonstrate explicitly that when the modular invariance is achieved, we can construct an interaction potential that is consistent with the symmetry and can completely gap out the edge state.

研究の動機と目的

• 2次元の対称性保護型トポロジカル位相が保護対称性を破らずにギャップ化可能かどうかを特定すること。
• そのギャップ化可能性を診断する基準として、エッジ理論の分割関数のモジュラー不変性を同定すること。
• モジュラー不変性が満たされる場合に、対称性を保ったままエッジモードをギャップ化する具体的な相互作用ポテンシャルの構成を明示すること。
• ボソン的K行列理論およびフェルミオン的トポロジカル超伝導体を具体的な実装として、両者に一般化可能な分析を拡張すること。

提案手法

• 2次元の対称性保護型トポロジカル位相の1次元エッジ理論の分割関数を分析する。
• エッジがグローバル対称性を保ったままギャップ化可能かどうかを判定するために、モジュラー不変性の条件を適用する。
• $\mathbb{Z}_K$ や $\mathbb{Z}_K \times \mathbb{Z}_K$ などの離散的対称性と整合する明示的な相互作用ポテンシャルを構築する。
• ボソン的トポロジカル位相をモデル化するためのチェーン＝シモンズ $K$-行列理論を用い、フェルミオン系におけるトポロジカル超伝導体に関連する系へと分析を拡張する。
• モジュラー不変性が対称的ギャップ化ポテンシャルの存在に対応することを検証する。
• エッジモードの解析とモジュラー群作用における変換性を分析するために、コンformal field theoryの技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ理論の分割関数のモジュラー不変性は、2次元の対称性保護型トポロジカル位相が対称性を破らずにギャップ化可能かどうかを診断できるか？
• RQ2 どのような条件下で、対称的相互作用ポテンシャルがトポロジカル位相のエッジモードを完全にギャップ化できるか？
• RQ3 エッジ理論のモジュラー構造は、相互作用が存在する際のトポロジカル秩序の安定性とどのように関係するか？
• RQ4 ボソン的およびフェルミオン的トポロジカル位相において、モジュラー不変性のもとで同じギャップ化基準が成り立つ範囲はどの程度か？
• RQ5 $K$-行列形式を用いて、エッジモードの対称的ギャップ項を体系的に構成可能か？

主な発見

• 対称性を保ったままエッジをギャップ化するポテンシャルが存在するためには、エッジ理論の分割関数のモジュラー不変性が必須条件である。
• 分割関数がモジュラー不変である場合、$\mathbb{Z}_K$ や $\mathbb{Z}_K \times \mathbb{Z}_K$ 対称性を破らずにエッジモードをギャップ化する対称的相互作用ポテンシャルを明示的に構築できる。
• チェーン＝シモンズ $K$-行列理論で記述されるボソン的位相では、モジュラー不変性が直接的に対称的相互作用によるギャップ化を示唆する。
• フェルミオン的トポロジカル超伝導体においても、同様のモジュラー不変性基準が適用可能であり、対称的ギャップ項の構成を可能にする。
• 解析により、モジュラー不変性がボソン的およびフェルミオン的両方のトポロジカル位相において普遍的な診断ツールとして機能することが確認された。
• 本研究の結果は、エッジ理論のモジュラー性とボリューム位相のトポロジカル安定性との深い関係を確立した。