[論文レビュー] Systems of ergodic BSDEs arising in regime switching forward performance processes

Ying Hu, Gechun Liang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2018

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 32被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、ルール変動型金融市場における前向きパフォーマンス過程と最適戦略を特徴付けるために、エルゴディックな振る舞いを示す新しい種類の多次元後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）のクラス、すなわちエルゴディックBSDEシステムを導入し、その解法を提示する。主な貢献は、2次成長およびルール変動型ダイナミクスの下で、解の存在および一意性を証明し、それらを効用最大化問題における長期的成長率および2次ハミルトニアンを有するPDEの長時間挙動に関連付けることにある。

ABSTRACT

We introduce and solve a new type of quadratic backward stochastic differential equation systems defined in an infinite time horizon, called \\emph{ergodic BSDE systems}. Such systems arise naturally as candidate solutions to characterize forward performance processes and their associated optimal trading strategies in a regime switching market. In addition, we develop a connection between the solution of the ergodic BSDE system and the long-term growth rate of classical utility maximization problems, and use the ergodic BSDE system to study the large time behavior of PDE systems with quadratic growth Hamiltonians.

研究の動機と目的

• 複数のルールを有する金融市場における前向きパフォーマンス過程をモデル化する、無限時間ホライズンのBSDEシステムの新しいクラスを構築すること。
• 2次成長およびルール変動型ダイナミクスの下で、これらのエルゴディックBSDEシステムの解の存在および一意性を確立すること。
• これらのエルゴディックBSDEシステムの解を、古典的効用最大化問題における長期的成長率に関連付けること。
• 2次ハミルトニアンを有するPDEシステムの長時間挙動を、エルゴディックBSDEフレームワークを用いて分析すること。
• 連携するBSDEシステムを通じて、マコフ型前向きパフォーマンス過程の理論を、ルール変動型環境に拡張すること。

提案手法

• 遷移率を通じたルール間の相互作用項を含む、ルール変動型ダイナミクスを有する無限時間ホライズンの2次BSDEシステムを定式化する。
• 多次元BSDEの比較定理を用いて、有界性および成長条件の下で解の一意性および安定性を確立する。
• 確率測度の変更技術（確率指数関数を用いて）を適用し、元の確率空間を等価測度に変換してダイナミクスを単純化する。
• モーメントおよび結合推定を活用し、解の成長を制御し、無限時間ホライズンにおいて0に収束することを証明する。
• 基礎となる拡散過程およびマコフ連鎖過程の可測関数を用いて、解のマコフ表現を構築する。
• 価値関数のエルゴディック極限を用いて長期的成長率を特定し、解をエルゴディック制御問題に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルール変動型市場における前向きパフォーマンス過程をモデル化するため、無限時間ホライズンのBSDEシステムを定式化できるか？
• RQ2 2次成長およびルール間相互作用を有するこのようなエルゴディックBSDEシステムの解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 これらのエルゴディックBSDEシステムの解は、効用最大化問題における長期的成長率とどのように関連するか？
• RQ4 2次ハミルトニアンを有するPDEシステムの長時間挙動は何か？ そして、エルゴディックBSDEを用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ5 連携するBSDEシステムを通じて、マコフ型前向きパフォーマンス過程の表現を、ルール変動型ダイナミクスを含む形に拡張できるか？

主な発見

• ドライバーに制御変数における2次成長およびルール変動型相互作用項を含む適切な条件下で、エルゴディックBSDEシステムは一意な有界解を有する。
• エルゴディックBSDEシステムの解は、古典的効用最大化問題における価値関数の長期的成長率を特徴付けるものであり、確率的制御と前向きパフォーマンス過程を結びつける。
• 解の成分は、高々線形成長を示し、無限時間ホライズンにおける安定性および収束性を保証する。
• 異なる制御に対応する2つの解の差は、時間の経過とともに0に収束するため、エルゴディック極限において一意性が保証される。
• モーメントおよび結合推定により、初期状態の摂動に対して解が指数関数的に時間とともに減少することが示され、摂動に対する安定性およびロバストネスが確認される。
• このフレームワークにより、エルゴディックBSDEシステムの解を用いて、ルール変動型市場におけるマコフ型前向きパフォーマンス過程を構築できる。