[論文レビュー] $t$-Structures with Grothendieck hearts via functor categories

Manuel Saorı́n, Jan Šťovíček|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 58被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、余積を備えた三角圏における $t$-構造のハートが AB5 またはグローテンディーク圏となるための条件を、関手圏と純粋性理論を用いて確立する。標準的なよく生成された三角圏において、$t$-構造がグローテンディーク圏のハートを持つことと、そのコイドルが純粋的内型の $t$-余生成対象を含むこととは同値であり、これはコンパクト生成された設定を超えて既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

We study when the heart of a t-structure in a triangulated category $\mathcal{D}$ with coproducts is AB5 or a Grothendieck category. If $\mathcal{D}$ satisfies Brown representability, a t-structure has an AB5 heart with an injective cogenerator and coproduct-preserving associated homological functor if, and only if, the coaisle has a pure-injective t-cogenerating object. If $\mathcal{D}$ is standard well generated, such a heart is automatically a Grothendieck category. For compactly generated t-structures (in any ambient triangulated category with coproducts), we prove that the heart is a locally finitely presented Grothendieck category. We use functor categories and the proofs rely on two main ingredients. Firstly, we express the heart of any t-structure in any triangulated category as a Serre quotient of the category of finitely presented additive functors for suitable choices of subcategories of the aisle or the co-aisle that we, respectively, call t-generating or t-cogenerating subcategories. Secondly, we study coproduct-preserving homological functors from $\mathcal{D}$ to complete AB5 abelian categories with injective cogenerators and classify them, up to a so-called computational equivalence, in terms of pure-injective objects in $\mathcal{D}$. This allows us to show that any standard well generated triangulated category $\mathcal{D}$ possesses a universal such coproduct-preserving homological functor, to develop a purity theory and to prove that pure-injective objects always cogenerate t-structures in such triangulated categories.

研究の動機と目的

• 余積を備えた三角圏における $t$-構造のハートが AB5 またはグローテンディーク圏となる条件を特定すること。
• コンパクト生成された三角圏を超えて純粋性理論を一般化すること。
• このような圏からの余積を保存するホモロジー的関手を純粋的内型対象を用いて分類すること。
• 標準的なよく生成された三角圏における普遍的な余積を保存するホモロジー的関手を確立すること。
• コンパクト生成された $t$-構造が局所有限生成のグローテンディーク的ハートを持つことの証明。

提案手法

• 任意の $t$-構造のハートを、$t$-生成または $t$-余生成部分圏上の有限生成関手の圏のセレ・商として表現する。
• 標準的手法（${\rm Mod}\text{-}\mathcal{D}^c$ に基づくもの）を置き換え、非コンパクト生成設定でも結果を得られるように関手圏を用いる。
• ミルナーのコロイムと正確な直接極限を用いて、三角圏における純粋性を導入し、その性質を研究する。
• 完全な AB5 アーベル圏で、内型の余生成対象を持つ、余積を保存するホモロジー的関手を純粋的内型対象を用いて特徴づける。
• このような関手の表現可能性を証明し、標準的なよく生成された圏において普遍的な関手を構成する。
• これらの結果を応用し、純粋的内型対象を用いてグローテンディーク的ハートを備えた $t$-構造を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余積を備えた三角圏における $t$-構造のハートが AB5 またはグローテンディーク圏となるのはいつか？
• RQ2 非コンパクト生成された三角圏における純粋性理論をどのように一般化できるか？
• RQ3 純粋的内型対象は、グローテンディーク的ハートをもつ $t$-構造を生成する際に果たす役割は何か？
• RQ4 余積を保存するホモロジー的関手が、純粋的内型対象によって表現可能となるのはいつか？
• RQ5 どのような条件下で $t$-構造のハートが局所有限生成となるか？

主な発見

• ブラウン表現可能性を満たす三角圏における $t$-構造は、そのコイドルに純粋的内型の $t$-余生成対象を含むときかつそのときに限り、AB5 のハートをもち、内型の余生成対象をもち、余積を保存するホモロジー的関手を持つ。
• 標準的なよく生成された三角圏においては、このようなハートは自動的にグローテンディーク圏である。
• 任意の余積を備えた三角圏におけるコンパクト生成された $t$-構造のハートは、局所有限生成のグローテンディーク圏である。
• 本論文は、標準的なよく生成された三角圏における普遍的な余積を保存するホモロジー的関手を構成した。
• $t$-構造のハートが AB5 であり、内型の余生成対象を持つことと、その $t$-構造が純粋的内型の NSZ 部分コシルティング対象から生じることとは同値である。
• 左非退化な $t$-構造において、すべての条件——スマッシュ性、AB5 のハートに内型の余生成対象、純粋的内型の AMV 部分コシルティング対象——は、圏がブラウン表現可能性を満たすか、標準的なよく生成された圏であるとき、同値である。