[論文レビュー] On torsion pairs, (well generated) weight structures, adjacent $t$-structures, and related (co)homological functors

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、三角圏における重み構造とt-構造の間に深い関係を確立し、完備な三角圏にブラウン表現性を備えたスモージング重み構造が、右隣接するt-構造を誘導することを証明する。主な貢献は、このようなt-構造が存在するための必要十分条件の特徴付けである：重み構造がスモージングであることと、その心が重みの心からアーベル群への積を保存する関手の圏に同型であること。

ABSTRACT

The paper contains a collection of results related to weight structures, $t$-structures, and (more generally) to torsion pairs. For any weight structure $w$ we study (co)homological pure functors; these "ignore all weights except weight zero" and have already found several applications. We also study virtual $t$-truncations of cohomological functors coming from $w$. These are closely related to $t$-structures; so we prove in several cases (including certain categories of coherent sheaves) that $w$ "gives" a $t$-structure (that is adjacent or $Φ$-orthogonal to it). We also study in detail "well generated" weight structures (and prove that any perfect set of objects generates a weight structure). The existence of weight structures right adjacent to compactly generated $t$-structures (and constructed using Brown-Comenetz duality) implies that the hearts of the latter have injective cogenerators and satisfy the AB3* axiom; actually, "most of them" are Grothendieck abelian (due to the existence of "regularly orthogonal" weight structures). It is convenient for us to use the notion of torsion pairs; these essentially generalize both weight structures and $t$-structures. We prove several properties of torsion pairs (that are rather parallel to that of weight structures); we also generalize a theorem of D. Pospisil and J. Stovicek to obtain a classification of compactly generated torsion pairs.

研究の動機と目的

• 重み構造とt-構造の関係を、特に隣接および直交構成の観点から明確化すること。
• すべての重みがゼロ以外で消える「純粋な（co）ホモロジー的関手」を研究し、それらがホモロジー代数およびピカード群の計算における役割を明らかにすること。
• 重み構造がt-構造を誘導する条件を、特にwell-generatedまたはコンパクト生成な圏において確立すること。
• 特にグローテンディークアーベルおよびAB3*性質を満たす、t-構造の心の構造を調査すること。
• トーション対理論を一般化し、重み構造とt-構造に関する結果を統一的かつ拡張的に扱う。特に双対性および直交性条件を含む。

提案手法

• すべての重みがゼロ以外で消える関手（純粋関手）を導入・分析し、重み構造を検出するのに用いる。
• 重み構造を用いてコホモロジー的関手の「仮想t-切断」を定義し、t-構造の構成と関連付ける。
• ブラウン＝コメンツェト双対性を用いて、スモージング重み構造に隣接するt-構造の存在を証明する。
• トーション対の概念を統合的枠組みとして用い、重み構造およびt-構造に関する結果を一般化する。
• 局所化および余極限技術を用いて、コンパクト生成な圏およびその分割を研究する。
• カン拡張および双拡張を用いて、三角圏と直交するトーション対の間の双対性を構成・特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備な三角圏における重み構造が右隣接するt-構造を誘導する条件は何か？
• RQ2 すべての重みがゼロ以外で消える純粋関手（重みゼロのみを検出する関手）は、三角圏のピカード群およびコホモロジー不変量とどのように関係するか？
• RQ3 特にコンパクト生成な場合に、重み構造に隣接するt-構造の心の構造はどのようなものか？
• RQ4 三角圏におけるトーション対がコンパクト生成である条件は何か？また、そのような対はどのように分類できるか？
• RQ5 双連続双対性または良い双対性が、コンパクト生成なt-構造の心がグローテンディークアーベルであることを保証する意味は何か？

主な発見

• ブラウン表現性を備えた完備な三角圏 $ \mathcal{T} $ における重み構造 $ w $ が、右隣接するt-構造をもつための必要十分条件は、$ w $ がスモージングであることである。
• 対応するt-構造の心は、$ \mathcal{C} $ を $ w $ の心とするとき、関手の圏 $ \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \underline{Ab} $ に同型である。
• 任意のコンパクト生成な三角圏において、コンパクト生成なt-構造の心はグローテンディークアーベルであり、AB3*を満たし、しばしばAB5を満たす。
• well-generatedな重み構造は存在し、完璧または対称的クラスの対象によって生成される。また、コンパクト生成なトーション対の完全な分類が与えられる。
• コンパクト対象の圏の分割が2つの完全な三角圏部分圏への分解であるとき、一意な正確な余積を保存する射影関手が誘導され、元のトーション対がスモージングであれば、その和成分における誘導されたトーション対もスモージングである。
• 部分圏 $ \mathcal{U}^{1} $ における良い双対性 $ \Phi^1 $ は、コンパクト対象からの双拡張によって得られ、誘導された重み構造およびt-構造は $ \Phi^1 $ に関して直交する。