[論文レビュー] TAMED COMPLEX STRUCTURES ON SOLVMANIFOLDS

Anna Fino, Hisashi Kasuya+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可解多様体上の不変複素構造をtamingするシンプレクティック形式の存在を検討し、特定の条件下—例えば、J がノルム部分群の可解補部分群に関して不変である、アーベル的である、または G がほとんどアーベル（タイプ (I) でない）である—では、その可解多様体がケーラーでない限り、このようなtamingシンプレクティック形式は存在しないことを証明している。その結果、オエルジェクレウスとトーマの非ケーラー複素多様体は、それ自身の複素構造をtamingするいかなるシンプレクティック形式も持てない。

ABSTRACT

We study the existence of symplectic forms taming invariant complex structures J on solvmanifolds G/ providing some negative results. In particular, we show th at if either J is invariant under the action of a nilpotent complement of the nilradical of G or J is abelian or G is amost abelian (not of type (I)), then the solvmanifold G/ cannot admit any symplectic form taming the complex structure J, unless G/ is Kahler. As a consequence, we show that the family of non-Kahler complex manifolds constructed by Oeljeklaus and Toma cannot admit any symplectic form taming the complex structure.

研究の動機と目的

• 可解多様体上の不変複素構造をtamingするシンプレクティック形式がどのような条件下で存在するかを特定すること。
• ノルム部分群の補部分群、アーベル性、およびほとんどアーベル型といった構造的性質が、tamingシンプレクティック形式の存在を妨げる役割を分析すること。
• 非ケーラー複素幾何におけるシンプレクティックtamingの既知の障害を、特に可解多様体に対して拡張すること。
• 非ケーラー複素多様体のオエルジェクレウス＝トーマ族におけるシンプレクティックtaming問題を解決すること。

提案手法

• ノルム部分群の可解補部分群が不変複素構造 J に作用する様子を分析すること。
• 表現論的およびコホロロジー的技法を用いて、複素構造とシンプレクティック構造の相関を研究すること。
• 特にノルム部分群とその補部分群に注目して、可解多様体に関する構造的結果を適用すること。
• 正則性条件を通じて複素構造とシンプレクティック形式を結びつけるtamingの概念を用いること。
• 与えられた制約のもとで、tamingシンプレクティック形式がケーラー性を強制することを示し、問題をケーラー条件に還元すること。
• 得られた結果をオエルジェクレウス＝トーマ構成に適用し、tamingシンプレクティック形式の存在を排除すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解多様体 G/Γ 上で、複素構造 J がどのような条件下でシンプレクティック形式によってtaming可能か。
• RQ2 J がノルム部分群の可解補部分群に関して不変である場合、tamingシンプレクティック形式の存在が妨げられるか。
• RQ3 可解多様体上のアーベル的複素構造は、多様体がケーラーでない限り、tamingシンプレクティック形式をもつことができるか。
• RQ4 ほとんどアーベル条件（タイプ (I) でない）が、tamingシンプレクティック形式の存在を防ぐ役割を果たすか。
• RQ5 オエルジェクレウスとトーマの非ケーラー複素多様体は、その複素構造をtamingするいかなるシンプレクティック形式も持てるか。

主な発見

• 複素構造 J が G のノルム部分群の可解補部分群の作用に関して不変である場合、G/Γ がケーラーでない限り、J をtamingするシンプレクティック形式は存在しない。
• J がアーベル的である場合、G/Γ がケーラーでない限り、J をtamingするシンプレクティック形式は存在しない。
• G がほとんどアーベル的でタイプ (I) でない場合、G/Γ がケーラーでない限り、J をtamingするシンプレクティック形式は存在しない。
• 非ケーラー複素多様体のオエルジェクレウス＝トーマ族は、その複素構造をtamingするいかなるシンプレクティック形式とも共存できない。
• 指定された構造的条件下では、可解多様体にtamingシンプレクティック形式が存在するならば、その多様体はケーラー的でなければならない。