[論文レビュー] Tau Functions and Matrix Integrals

A. Yu. Orlov|ArXiv.org|Oct 7, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 49被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ハリシ・チャンドラ＝イツィクソン＝ズーバー、グロス＝ウイッテン、複素行列モデルなどの可解な行列積分を、行列引数のτ関数として特定することにより一般化する。対称関数論およびフェルミオン的フォック空間形式を用いて、行列積分をシュール関数展開または直交多項式を用いた方法で固有値積分に還元し、行列積分をτ関数として表現することで、行列積分の確定的表現および可解な多行列モデルの導出が可能になる。

ABSTRACT

We consider solvable matrix models. We generalize Harish-Chandra-Itzykson-Zuber and certain other integrals (Gross-Witten integral and integrals over complex matrices) using the notion of tau function of matrix argument. In this case one can reduce the matrix integral to the integral over eigenvalues, which in turn is certain tau function. The resulting tau function may be analyzed either by the method of orthogonal polynomials or by the Schur functions expansion method.

研究の動機と目的

• 既知のケースを超えて可解な行列モデルを拡張するために、行列積分を行列引数のτ関数として特定すること。
• ハリシ・チャンドラ＝イツィクソン＝ズーバー、グロス＝ウイッテン、複素行列など、多様な行列積分をτ関数を用いた共通の枠組みで統一すること。
• 行列積分の分配関数とフェルミオン的フォック空間における真空期待値との間の対応関係を確立すること。
• シュール関数展開および直交多項式を用いた体系的な手法により、多行列モデルを解くこと。
• 確率的行列理論に関連するスカラー積およびスペクトル行列式の積分表現を導出すること。

提案手法

• 特にシュール関数を用いた対称関数環 Λ 内の正規直交基底としての対称関数論を用いる。
• フェルミオン的フォック空間形式を用いて、τ関数をフェルミオン的演算子の真空期待値として表現する。
• KPおよびToda格子階層を用いて、ヒロタ＝ミワ双線形方程式および頂点演算子作用を介してτ関数を定義する。
• ユニタリ、エルミート、または複素行列に対する行列積分を角度の統合により固有値積分に還元し、スカラー積を得る。
• シュール関数展開および超幾何型級数を用いて、摂動的および非摂動的解を表現する。
• スカラー積の積分表現および行列式の公式を適用し、多行列モデルの正確な解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ、エルミート、複素行列に対する行列積分を、どのように体系的に固有値積分に還元できるか。
• RQ2 行列引数のτ関数が、H-C-I.Z. やグロス＝ウイッテンなどの既知の行列モデルをどのように統一するか。
• RQ3 対称関数論およびシュール関数は、行列積分の分配関数を表現するために果たす役割は何か。
• RQ4 フェルミオン的フォック空間および真空期待値は、対称関数論におけるスカラー積の実現にどのように寄与するか。
• RQ5 直交多項式法とτ関数の枠組みを用いて、新たな可解な多行列モデルを構成できるか。

主な発見

• ユニタリ、エルミート、複素行列に対する行列積分が、行列引数のτ関数と等価であることが示され、正確な可解性が達成される。
• 行列モデルの固有値積分は、対称関数空間におけるスカラー積に還元され、これは真空期待値として表現可能である。
• 得られたτ関数のシュール関数展開は摂動的級数を提供し、非摂動的解析に直交多項式技法を適用可能にする。
• 本論文は、τ関数形式を用いて、二行列モデルおよびノーマル行列モデルを含む新たな可解な多行列モデルを構成する。
• スカラー積の積分表現が導出され、行列モデルの分配関数が行列引数の超幾何関数と関連づけられる。
• ゲルファンド＝グラーヴ＝レタフの超幾何級数のフェルミオン的表現が確立され、行列式および積の公式を通じて格子構造とτ関数が結びつけられる。