[論文レビュー] Test vectors for finite periods and base change

U. K. Anandavardhanan, Nadir Matringe|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$H$ が $\mathrm{GL}_n(F)$ または $\mathrm{U}(n,E/F)$ であるとき、$\mathrm{GL}_n(E)$ の一般的かつ $H$-区別可能な表現 $\pi$ の Whittaker モデルにおける一意な $H$-不変ベクトルの明示的公式を、$\pi$ のベッセル関数を用いて提示する。主な結果は、恒等行列におけるベッセル関数の $H$-平均の値が、基底拡大表現の次元の比として与えられ、有限体および $p$-進体の設定において区別性と基底拡大を結びつける。

ABSTRACT

Let $E/F$ be a quadratic extension of finite fields. By a result of Gow, an irreducible representation $π$ of $G = { m GL}_n(E)$ has at most one non-zero $H$-invariant vector, up to multiplication by scalars, when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ or ${ m U}(n,E/F)$. If $π$ does have an $H$-invariant vector it is said to be $H$-distinguished. It is known, from the work of Gow, that $H$-distinction is characterized by base change from ${ m U}(n,E/F)$, due to Kawanaka, when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ (resp. from ${ m GL}_n(F)$, due to Shintani, when $H$ is ${ m U}(n,E/F)$). Assuming $π$ is generic and $H$-distinguished, we give an explicit description of the $H$-invariant vector in terms of the Bessel function of $π$. Let $ψ$ be a non-degenerate character of $N_G/N_H$ and let $B_{π,ψ}$ be the (normalized) Bessel function of $π$ on the $ψ$-Whittaker model. For the $H$-average \[W_{π,ψ} = \frac{1}{|H|} \sum_{h\in H} π(h) B_{π,ψ}\] of the Bessel function, we prove that \[W_{π,ψ}(I_n) = \frac{{ m dim}ρ}{{ m dim} π} \cdot \frac{|{ m GL}_n(E)|}{|{ m GL}_n(F)| |{ m U}(n,E/F)|},\] where $ρ$ is the representation of ${ m U}(n,E/F)$ (resp. ${ m GL}_n(F)$) that base changes to $π$ when $H$ is ${ m GL}_n(F)$ (resp. ${ m U}(n,E/F)$). As an application we classify the members of a generic $L$-packet of ${ m SL}_n(E)$ that admit invariant vectors for ${ m SL}_n(F)$. Finally we prove a $p$-adic analogue of our result for square-integrable representations in terms of formal degrees by employing the formal degree conjecture of Hiraga-Ichino-Ikeda \cite{hii08}.

研究の動機と目的

• 一般的かつ $H$-区別可能な $\mathrm{GL}_n(E)$ の表現 $\pi$ の Whittaker モデルにおける一意な $H$-不変ベクトルを明示的に記述すること。
• 表現 $\pi$ のベッセル関数の恒等行列における $H$-平均の明示的公式を確立すること。
• $H$-区別性と $\mathrm{U}(n,E/F)$ や $\mathrm{GL}_n(F)$ からの基底拡大との関係を、次元および形式的次数を含む明示的公式を通じて結びつけること。
• Hiraga-Ichino-Ikeda の形式的次数予想を用いて、有限体の結果を $p$-進体の設定に拡張すること。
• $\mathrm{SL}_n(E)$ の一般的 $L$-パケージに属するどの表現が $\mathrm{SL}_n(F)$-不変ベクトルをもつかを分類すること。

提案手法

• 著者たちは、$\mathrm{GL}_n(E)$ の一般的表現 $\pi$ の $\psi$-Whittaker モデルを用い、$\psi$ は $N_H$ で自明な非退化的特徴で、正規化されたベッセル関数 $B_{\pi,\psi}$ を定義する。
• 彼らはベッセル関数の $H$-平均を計算する：$W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{1}{|H|} \sum_{h \in H} \pi(h) B_{\pi,\psi}$ であり、恒等行列におけるその値を導出する。
• 重要な恒等式は $W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{\dim \rho}{\dim \pi} \cdot \frac{|\mathrm{GL}_n(E)|}{|\mathrm{GL}_n(F)| \cdot |\mathrm{U}(n,E/F)|}$ であり、ここで $\rho$ は $H$ からの基底拡大表現である。
• $p$-進体の場合、彼らは Hiraga-Ichino-Ikeda の形式的次数予想を用いて、$\pi$ の形式的次数とその基底拡大表現 $\rho$ の形式的次数との関係を確立し、有限体の結果の $p$-進体版を得る。
• 特に $L$-関数の関数方程式と $\epsilon$-因子、特に $\gamma(s, \pi, r, \psi)$ を用いて、$L$-値の比と形式的次数の比との関係を結ぶ。
• 既知の結果、すなわち、可積分的かつ区別可能な表現に対して $\epsilon(1/2, \pi, r, \psi) = 1$ が成り立つことを利用して、最終的な式を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般的かつ $H$-区別可能な $\mathrm{GL}_n(E)$ の表現 $\pi$ のベッセル関数の恒等行列における $H$-平均の明示的値は何か？
• RQ2 Whittaker モデルにおける $H$-不変ベクトルは、$H$ からの基底拡大表現 $\rho$ とどのように関係するか？
• RQ3 形式的次数予想を用いて、有限体におけるテストベクトルの結果を $p$-進体の設定に拡張できるか？
• RQ4 $p$-進体の場合に、$\pi$ の形式的次数と基底拡大表現 $\rho$ の次元との正確な関係は何か？
• RQ5 $\mathrm{SL}_n(E)$ の一般的 $L$-パケージに属するどの表現が $\mathrm{SL}_n(F)$-不変ベクトルをもつか？

主な発見

• 恒等行列における $H$-平均は、$W_{\pi,\psi}(I_n) = \frac{\dim \rho}{\dim \pi} \cdot \frac{|\mathrm{GL}_n(E)|}{|\mathrm{GL}_n(F)| \cdot |\mathrm{U}(n,E/F)|}$ で与えられ、ここで $\rho$ は $H$ からの基底拡大表現である。
• $p$-進体の設定において、可積分的表現に対して、Whittaker モデル上の線形汎関数 $\lambda$ は $\lambda \sim \frac{d(\rho)}{d(\pi)} \cdot \ell$ を満たす。ここで $d(\cdot)$ は形式的次数を表す。
• 可積分的かつ $H$-区別可能な表現に対して、$\epsilon(1/2, \pi, r, \psi) = 1$ が成り立ち、関数方程式の解析を単純化する。
• この結果は、$H$-不変ベクトルがベッセル関数と基底拡大表現によって明示的に決定され、形式的次数予想を通じて比例定数が明示的に与えられることを示唆する。
• 本稿では、テストベクトル公式を用いて、$\mathrm{SL}_n(E)$ の一般的 $L$-パケージにおける $\mathrm{SL}_n(F)$-不変ベクトルを分類する。
• 有限体の結果が、$p$-進体の結果の有限体版であることが示され、適切な正規化のもとでベッセル関数が $\ell(B_{\pi}) = 1$ を満たす。