[論文レビュー] Théorie de la réduction pour les groupes p-divisibles

L Fargues|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体上の$p$-除的群に対するハードラー＝ナラシンハンフィルトレーションの理論を構築し、ラポルト＝ジンクス空間および$p$-進シムーラ多様体上の周期準同型写像の幾何に応用する。主な結果として、ラポルト＝ジンクス空間の一般化ファイバー上のド・ラーム周期準同型写像の像が、許容的開域$\mathcal{F}^a$に一致すること、および半安定部分集合上で準同型写像が準有限であること、さらに安定部分集合上で自然なセクションが存在することを示す。

ABSTRACT

Starting from our work on Harder-Narasimhan filtrations of finite flat group schemes over a $p$-adic field, we developp a theory of Harder-Narasimhan filtrations for $p$-divisible groups. We apply this to the study of the geometry of period morphisms for Rapoport-Zink spaces and to the $p$-adic geometry of Shimura varieties. We define and study in particular some fundamental domains for the action of Hecke correspondences.

研究の動機と目的

• $p$-進体上の有限平坦群スキームからのハードラー＝ナラシンハン理論を$p$-除的群へ拡張すること。
• 本フィルトレーション理論を用いて、ラポルト＝ジンクス空間上の周期準同型写像の幾何を研究すること。
• $p$-進シムーラ多様体におけるヘッケ対応の基本領域を定義し、解析すること。
• グリフィス周期写像の$p$-進類似を確立し、シムーラ多様体のコホロロジーへの応用を示すこと。

提案手法

• $n \geq 1$ に対して $H[p^n]$ の多角形を正規化することにより、$p$-除的群に対する正規化済みハードラー＝ナラシンハン多角形を導入する。
• 半安定$p$-除的群およびHN型群（$p^n$- torsion部分群のHNフィルトレーションが整合的である群）を定義する。
• 与えられた群に同種なHN型の$p$-除的群を有限回の反復で得る降下アルゴリズムを構成する。
• 正規化されていないHN多角形を、$H[p^n]$ の多角形の上限として定義し、その極限の勾配が正規化済み多角形の最初の勾配と一致することを示す。
• 本理論をラポルト＝ジンクス空間の一般化ファイバーに適用し、ド・ラーム周期準同型写像$\pi_{dR}$ が半安定部分集合を$\mathcal{F}^a$ 上へ全射に写すことの証明を行う。
• ダイアモンド理論的技法を用いて、非半安定HN層を$P_\nu(\mathbb{Q}_p)$-作用によるパラボリック誘導として記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラポルト＝ジンクス空間の一般化ファイバーからの周期準同型写像$\pi_{dR}$ は、許容的開域$\mathcal{F}^a$ へ全射か？
• RQ2 $\pi_{dR}$ の半安定部分集合への制限は準有限か？
• RQ3 安定部分集合上で周期準同型写像は自然なセクションをもつか？
• RQ4 フラッグ多様体における非半安定HN層は、レヴィ部分群からのパラボリック誘導か？
• RQ5 ホッジ＝ノイザー分解の下で、$\mathrm{Gr}_{\mathrm{B}_{dR}}^{\leq \mu}$ 上のHN層とノイザー層は一致するか？

主な発見

• 半安定部分集合$\mathcal{M}_\eta^{ss}$ における周期準同型写像$\pi_{dR}$ の像は、ちょうど許容的開域$\mathcal{F}^a$ に一致し、全射性が証明される。
• $\pi_{dR|\mathcal{M}_\eta^{ss}/p^\mathbb{Z}}$ は準有限である。これは、ファイバーが有限かつエタールであることと同値である。
• 安定部分集合$\mathcal{M}_\eta^s$ 上では、周期準同型写像$\pi_{dR}$ に自然なセクションが存在し、$\mathcal{M}_\eta^s/p^\mathbb{Z}$ が$\mathcal{F}^a$ の閉部分多様体として埋め込まれる。
• $H$ の正規化されていないHN多角形の極限勾配は、$H$ の正規化済みHN多角形の最初の勾配と一致し、両構成法の関係が明確に示される。
• フラッグ多様体における非半安定HN層は、$P_\nu(\mathbb{Q}_p)$-作用によるパラボリック誘導として記述され、$S_\infty^{\mathrm{HN}=\nu} \cong T_\nu \times_{\underline{P_\nu(\mathbb{Q}_p)}} \underline{G(\mathbb{Q}_p)}$ が成り立つ。
• $\mathrm{Gr}_{\mathrm{B}_{dR}}^{\leq \mu}$ 上のHN層とノイザー層が一致するための必要十分条件として、$B(G, \mu^{-1})$ が完全にホッジ＝ノイザー分解可能であることの予想が提示される。