[論文レビュー] The a-theorem and entanglement entropy

Sergey N. Solodukhin|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 38被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、4次元量子場の理論におけるa定理を、エンタングルメントエントロピーを用いて再定式化し、ストレステンソルトレースの2点関数の正定値性から、リノルミズェーション群の流れに沿って中心的係数$a$が単調に減少することを示している。共通次元2の表面にエンタングルメントエントロピーが結合するダイルトン有効作用を分析することで、$a$異常によるエンタングルメントエントロピーの寄与が2次元の conformal field theory に類似していることを示し、a定理が低次元におけるc定理の結果である可能性を示唆している。

ABSTRACT

The a-theorem is demonstrated for the RG flows of entanglement entropy in two and four dimensions. In four dimensions we relate it to the term quadratic in intrinsic derivative of the dilaton along the entangling surface in the dilaton entropy. The a-theorem, similarly to the c-theorem in two dimensions, then follows from the positivity of the 2-point function of stress-energy tensor. We suggest that the a-theorem, provided it is properly reformulated in terms of the entanglement entropy, may follow from the c-theorem.

研究の動機と目的

• 4次元量子場の理論におけるa定理がエンタングルメントエントロピーを用いて再定式化され、証明可能かどうかを調査すること。
• エンタングルメントエントロピーの文脈においてダイルトン有効作用を分析することで、a定理とc定理の関係を明らかにすること。
• ダイルトン作用における曲率テンソルの結合項$G^{\nu\beta} \partial_\nu \tau \partial_\beta \tau$がエンタングルメントエントロピーにおける$a$異常に起因する主要因であることを特定すること。
• ストレステンソルトレースの2点関数のスペクトル表現の正定値性から、RGフローに沿った$a$チャージの単調減少が生じることを示すこと。

提案手法

• 質量パラメータを時空依存のダイルトン場$\tau(x)$に拡張することで、共形不変性を回復するKomargodski-Schwimmerの手法を用いる。
• 共通次元2のエンタングルメント表面を伴うダイルトン有効作用を分析し、曲率テンソルとダイルトン勾配を結合する項$G^{\mu\nu} \partial_\mu \tau \partial_\nu \tau$に注目する。
• この項をストレステンソルトレースの2点関数$\langle T(x)T(y) \rangle$に関連づけ、そのスペクトル表現が正定値性を保証することを示す。
• エンタングルメント表面における$a$異常寄与が2次元CFTの有効作用と等価であることを示し、c定理に類似した証明が可能になる。
• 共形対称性の制約を適用して、ダイルトン作用における高次の項を固定し、高次元における$a$異常構造と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元量子場の理論におけるa定理は、エンタングルメントエントロピーの観点から再定式化可能か？
• RQ2 RGフローに沿った$a$チャージの単調減少は、2次元におけるc定理の背後にある同一の正定値性性質に起因するか？
• RQ3 エンタングルメントエントロピーにおけるダイルトン場$\tau(x)$への依存性は、$a$異常を十分に捉え、a定理の証明に役立つか？
• RQ4 $d=4$におけるエンタングルメントエントロピーの$a$異常は、エンタングルメント表面における2次元の conformal field theory の作用に写像可能か？

主な発見

• 4次元CFTにおける$a$異常寄与は、共通次元2のエンタングルメント表面に定義された2次元CFTの有効作用と等価である。
• $a$異常を引き起こすダイルトン有効作用における主要項は$G^{\mu\nu} \partial_\mu \tau \partial_\nu \tau$であり、これは$\tau$に関して2次であり、ストレステンソルトレースの2点関数に由来する。
• 2点関数$\langle T(x)T(y) \rangle$のスペクトル表現の正定値性により、$\Delta a = a_{\text{UV}} - a_{\text{IR}} > 0$が保証され、c定理と同一のメカニズムによりa定理が証明される。
• 4次元におけるエンタングルメント表面のダイルトンエントロピーは$S_{\text{dilaton}} = 6\pi \Delta a_6 \int_{\Sigma_4} (\tau E_4 + \cdots)$で与えられ、$\Delta a_4 = 384\pi \Delta a_6$により$d=4$と$d=6$における$a$チャージが関連づけられる。
• 解析から、c定理とa定理の間には深い構造的類似性があることが示唆され、a定理はエンタングルメントエントロピーに適用されたc定理の結果である可能性がある。