[論文レビュー] The Anomalous Nambu-Goldstone Theorem in Relativistic/Nonrelativistic Quantum Field Theory

Tadafumi Ohsaku|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 68被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ローレンツ対称性を破る非相対論的および相対論的でない量子場の理論におけるナムブ＝ゴールドストン（NG）ボソンの一般化された数え上げ法を確立し、保存された荷重の交換子代数のランクによって真のNGボソンの数が減少することを示している。NG領域に準ヒルベルト代数が存在することを特定しており、これは修正された量子不確定性関係を示唆し、標準的量子力学を超える物理を示唆している。また、数論やリーマン予想との関連も示している。

ABSTRACT

The anomalous Nambu-Goldstone (NG) theorem which is found as a violation of counting law of the number of NG bosons of the normal NG theorem in nonrelativistic and Lorentz-symmetry-violated relativistic theories is studied in detail, with emphasis on its mathematical aspect from Lie algebras, geometry to number theory. The basis of counting law of NG bosons in the anomalous NG theorem is examined by Lie algebras (local) and Lie groups (global). A quasi-Heisenberg algebra is found generically in various symmetry breaking schema of the anomalous NG theorem, and it indicates that it causes a violation/modification of the Heisenberg uncertainty relation in an NG sector which can be experimentally confirmed. The formalism of effective potential is presented for understanding the mechanism of anomalous NG theorem with the aid of our result of Lie algebras. After an investigation on a bosonic kaon condensation model with a finite chemical potential as an explicit Lorentz-symmetry-breaking parameter, a model Lagrangian approach on the anomalous NG theorem is given for our general discussion. Not only the condition of the counting law of true NG bosons, but also the mechanism to generate a mass of massive NG boson is also found by our examination on the kaon condensation model. Furthermore, the generation of a massive mode in the NG sector is understood by the quantum uncertainty relation of the Heisenberg algebra, obtained from a symmetry breaking of a Lie algebra, which realizes in the effective potential of the kaon condensation model. Hence the relation between a symmetry breaking scheme, a Heisenberg algebra, a mode-mode coupling, and the mechanism of mass generation in an NG sector is established. Finally, some relations between the Riemann hypothesis and the anomalous NG theorem are presented.

研究の動機と目的

• 非相対論的およびローレンツ対称性を破る系におけるNGボソンの数え上げ法に関する長年の論争を解決すること。
• NGボソンの数が破れた生成子の数と一致しない「異常なナムブ＝ゴールドストンの定理」の背後にあるメカニズムを明確にすること。
• リー代数、リー群、および有効場理論を用いた幾何学的・代数的枠組みを構築し、異常な振る舞いを理解すること。
• 異常なNG定理と、類体論やリーマン予想を含む深い数学的構造との間の関係を探索すること。
• 質量モードとNG領域における量子不確定性効果を考慮した、NG定理の修正形式を提唱すること。

提案手法

• 保存された荷重の交換子代数を用いて一般化された数え上げ法を導出：$ n_{\text{true-NG}} = n_{BS} - \frac{1}{2} \text{rank}\langle [Q^A, Q^B] \rangle $。
• リー代数およびリー群の表現を用いてNG領域の構造を分析し、対称性の破れの枠組みにおいて一般に準ヒルベルト代数が現れることを特定。
• 有効ポテンシャル形式を用いて、異常なNG振る舞いのメカニズムをモデル化し、特に有限の化学ポテンシャルを伴うボソン的カリオン凝縮模型に適用。
• 微分幾何学およびカルタン接続を用いて真空多様体とその部分多様体構造を記述し、トポロジーとモード数え上げを結びつける。
• 一般化されたローレンツ対称性を破るラグランジアンを導入し、異なる対称性の破れパターンにわたる異常なNG定理をモデル化。
• クロネッカー＝ヴェーバーの定理を介して、真空の degeneracy 構造と類体論（円分拡大、イデール／アデールを含む）の間の対応関係を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ非相対論的およびローレンツ対称性を破る系では、NGボソンの数が破れた生成子の数と一致しないのか？
• RQ2 特に明示的な対称性の破れがない状況下で、異常なNG定理におけるNGモードの質量生成はどのように説明されるのか？
• RQ3 ヒルベルト代数と量子不確定性は、異常領域における標準的NG定理をどのように修正するのか？
• RQ4 リー群および代数的幾何学を用いて、相対論的および非相対論的フレームワークの間で異常NG定理を統一することは可能か？
• RQ5 異常NG定理と数論、特にリーマン予想との間には、どのような深い数学的関係があるのか？

主な発見

• 真のNGボソンの数は $ n_{\text{true-NG}} = n_{BS} - \frac{1}{2} \text{rank}\langle [Q^A, Q^B] \rangle $ で与えられ、荷重の交換子行列のランクが質量モードの数を決定する。
• NG領域に一般に準ヒルベルト代数が出現し、これはヒルベルト不確定性関係の修正を示唆しており、実験的に検出可能である可能性がある。
• 有限の化学ポテンシャルを伴うカリオン凝縮模型では、有効ポテンシャルが量子揺らぎとモード間カップリングを通じて質量モードを生成するメカニズムを明らかにする。
• 真空多様体の構造は円分拡大を導き、これはアーベル拡大であり、クロネッカー＝ヴェーバーの定理を介して類体論と結びつく。
• ℓ-adic ガロア表現とイデール類体を用いることで、異常NG定理とリーマン予想との間の形式的リンクを確立した。
• 破れた生成子と質量なしNGボソンの間の1対1対応は破られる。代わりに、非自明な交換子構造により、破れた生成子空間が次元の低い部分空間に投影される。