[論文レビュー] The asymptotic number of $12..d$-Avoiding Words with $r$ occurrences of each letter $1,2, ..., n$

Guillaume Chapuy|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、長さ $rn$ の語の数に対する最初の明示的漸近公式を、$1$ から $n$ の各文字がちょうど $r$ 回ずつ出現し、長さ $d+1$ の増加部分列を含まない場合に確立する。RSK対応とKostka数のJacobi-Trudi行列式に対する鞍点解析を用いて、明示的に計算された定数 $C_{d+1,r}$ を持つ正確な漸近的表現が得られ、EkhadとZeilbergerの予想を解決し、$r=1$ の場合のRegevの結果を一般化する。結果は指数的成長率を確認し、一般の $r$ に対して補正された指数的でない係数を提供する。主な貢献は、漸近公式における乗法的定数の閉形式表現である。

ABSTRACT

Following Ekhad and Zeilberger (The Personal Journal of Shalosh B. Ekhad and Doron Zeilberger, Dec 5 2014; see also arXiv:1412.2035), we study the asymptotics for large $n$ of the number $A_{d,r}(n)$ of words of length $rn$ having $r$ letters $i$ for $i=1..n$, and having no increasing subsequence of length $d$. We prove an asymptotic formula conjectured by these authors, and we give explicitly the multiplicative constant appearing in the result, answering a question they asked. These two results should make the OEIS richer by 100+25=125 dollars. In the case $r=1$ we recover Regev's result for permutations. Our proof goes as follows: expressing $A_{d,r}(n)$ as a sum over tableaux via the RSK correspondence, we show that the only tableaux contributing to the sum are "almost" rectangular (in the scale $\sqrt{n}$). This relies on asymptotic estimates for the Kotska numbers $K_{λ,r^n}$ when $λ$ has a fixed number of parts. Contrarily to the case $r=1$ where these numbers are given by the hook-length formula, we don't have closed form expressions here, so to get our asymptotic estimates we rely on more delicate computations, via the Jacobi-Trudi identity and saddle-point estimates.

研究の動機と目的

• EkhadとZeilbergerが提起した、$12\dots d$-回避語で各文字 $1,\dots,n$ がちょうど $r$ 回ずつ出現する語の数の漸近的性質に関する予想を解決すること。
• 漸近公式における乗法的定数 $C_{d+1,r}$ の明示的表現を提供すること。これは、以前は小規模な $d$ および $r$ の場合にのみ予想されていた。
• $r=1$ の場合（長さ $d+1$ の増加部分列を避ける置換）のRegevの結果を一般の $r \geq 1$ に拡張すること。
• サイズ $rn$ の部分集合 $\lambda$ が $d$ 個の部を持つ場合のKostka数 $K_{\lambda,r^n}$ の漸近的挙動を、$\sqrt{n}$ スケールでの長方形に近い形状に注目して分析すること。

提案手法

• RSK対応を用いて、$A_{d+1,r}(n)$ を高々 $d$ 個の部を持つ分割 $\lambda$ の和として表現し、各項は標準ヤング盤 $f_\lambda$ と $g_\lambda^{(r)} = K_{\lambda,r^n}$（Kostka数）の積となる。
• Jacobi-Trudi恒等式を用いて、シュール関数 $s_\lambda$ を完全対称関数の行列式として書き表し、母関数技法の適用を可能にする。
• 留数定理を用いて $K_{\lambda,r^n}$ の多変数 contour 積分表現を導出し、バーデルモンド行列式を含む $d$ 重 contour 積分として表現する。
• 積分表現に対する鞍点解析を実行し、$\lambda_i$ の部が $rn/d$ に $\sqrt{n}$ スケールで近い分割 $\lambda$ からの寄与が支配的となるように、主要な漸近的項を特定する。
• 一様推定とドミネート収束定理を用いて、$\lambda_i$ の適切なスケーリングの後、$\sum z_i = 0$, $z_1 < \dots < z_d$ の単体上での極限積分を評価する。
• 既知のRegev（1981）の結果を用いて得られるガウス積分を評価し、スケーリング係数と組み合わせて、最終的な $C_{d+1,r}$ の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $rn$ の語で、各文字 $1,\dots,n$ がちょうど $r$ 回ずつ出現し、長さ $d+1$ の増加部分列を含まない語の数の正確な漸近的成長率は何か？
• RQ2 一般の $d \geq 2$ および $r \geq 1$ に対して、$A_{d+1,r}(n)$ の漸近公式における乗法的定数 $C_{d+1,r}$ を明示的に計算できるか？
• RQ3 RSK和における寄与するテーブュックスの漸近的挙動は何か？$n \to \infty$ のとき、それらは $\sqrt{n}$ スケールでの長方形形状に集中しているか？
• RQ4 サイズ $rn$ で $d$ 個の部を持つ分割 $\lambda$ に対して、$K_{\lambda,r^n}$ の漸近的挙動は何か？$n$ が大きく、$\lambda$ が長方形形状 $(n/d,\dots,n/d)$ に近いとき。
• RQ5 Jacobi-Trudi行列式への鞍点法の適用は、$K_{\lambda,r^n}$ に対して一様な漸近的推定値をもたらし、$\lambda$ に関する和を積分で近似可能か？

主な発見

• 漸近公式は $A_{d+1,r}(n) \sim C_{d+1,r} \cdot n^{-\frac{(d+1)(d-1)}{2}} \left[d^r \binom{r+d-1}{d-1}\right]^n$ として確立され、$C_{d+1,r}$ は明示的に計算されている。
• 乗法的定数は $C_{d+1,r} = \frac{\sqrt{d} \cdot \prod_{i=1}^{d-1} i!}{(2\pi)^{\frac{d}{2} - \frac{1}{2}}} \left(\frac{d(d+1)}{r(2d+r+1)}\right)^{\frac{(d-1)(d+1)}{2}}$ で与えられ、定数の値に関する予想が解決された。
• RSK対応における和の支配的寄与は、長方形形状 $(rn/d, \dots, rn/d)$ から $O(\sqrt{n})$ の範囲内にある分割 $\lambda$ からのものであり、『ほぼ長方形』の集中を確認した。
• Kostka数 $K_{\lambda,r^n}$ は、Jacobi-Trudi行列式に対する鞍点解析を用いて漸近的に推定され、積分表現により指数的および多項式的項の両方を正確に制御可能である。
• 長方形形状の $\sqrt{n}$-近傍外の非支配的テーブルックスからの誤差は指数的に小さく、積分近似が正当化される。
• 最終的な単体 $\sum z_i = 0$, $z_1 < \dots < z_d$ 上の積分は、Regev（1981）の既知の結果を用いて評価され、これにより $C_{d+1,r}$ の閉形式定数が導出可能となった。