[論文レビュー] The asymptotics of the analytic torsion on CR manifolds with $S^1$ action

Chin-Yu Hsiao, Rung-Tzung Huang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トランスバーサルなCR $S^1$-作用を備えたコンパクトで強く擬凸なCR多様体上における解析的 torsionのフーリエ成分の漸近公式を確立し、熱核およびスペクトル論的手法を用いて、正のラインバンドル上の正則 torsion に対するBismutとVasserotの漸近公式をCR設定へ一般化する。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected strongly pseudoconvex CR manifold of dimension $2n+1, n \ge 1$ with a transversal CR $S^1$-action on $X$. We introduce the Fourier components of the Ray-Singer analytic torsion on $X$ with respect to the $S^1$-action. We establish an asymptotic formula for the Fourier components of the analytic torsion with respect to the $S^1$-action. This generalizes the asymptotic formula of Bismut and Vasserot on the holomorphic Ray-Singer torsion associated with high powers of a positive line bundle to strongly pseudoconvex CR manifolds with a transversal CR $S^1$-action.

研究の動機と目的

• 複素多様体上の正のラインバンドルに対して既に知られていた正則解析的 torsion の漸近公式を、トランスバーサルな $S^1$-作用を備えた強く擬凸なCR多様体の設定へ拡張すること。
• スペクトル論を用いて、そのようなCR多様体上におけるRay-Singer解析的 torsion のフーリエ成分を定義し、分析すること。
• 高重量極限における解析的 torsion の漸近展開を確立し、複素幾何の場合と類似の形とすること。
• 複素軌道多様体上への円分岐体として現れるCR多様体における解析的 torsion を研究するための枠組みを提供し、一般の軌道多様体手法に対する滑らかな代替手段を提示すること。

提案手法

• CR多様体 $X$ における $S^1$-作用に関する微分形式のフーリエ分解を導入し、$S^1$-作用の無限小生成子 $T$ の $m$ 番目の固有空間を $\Omega^{0,\bullet}_m(X)$ と定義する。
• CRドービュール複体と、正のラインバンドル $L$ の高次のベクトル束値で、基底となる複素多様体 $M$ 上のドービュール複体 $\Omega^{0,\bullet}(M, L^m)$ を結ぶ自然な同型写像 $A_m: \Omega^{0,\bullet}_m(X) \to \Omega^{0,\bullet}(M, L^m)$ を確立する。
• 熱核法を用いて、$X$ 上のKohnラプラシアン $\Box_{b,m}$ のスペクトル的性質を分析し、同型写像 $A_m$ を用いて、$M$ 上のコーディララスラプラシアン $\Box_m$ と関連付ける。
• スペクトルゼータ関数の技法を用いて、熱作用素のスーパートレースのメリン変換により、解析的 torsion の漸近展開を導出する。
• 熱核展開および曲率トレースの恒等式を適用し、曲率形式 $R^L$ とCR構造のリッチ曲率 $\dot{\mathcal{R}}$ を含む、漸近公式の主要項を計算する。
• リーマンゼータ関数およびその微分を用いて、ゼータ関数の $z=0$ における値を評価し、$\log \det(\frac{m \dot{R}^L}{2\pi})$ を含む最終的な漸近的表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トランスバーサルな $S^1$-作用を備えたCR多様体上における高重量フーリエ成分の解析的 torsion は、どのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 正のラインバンドル上の正則 torsion に対するBismut-Vasserotの漸近公式は、CR設定へ一般化可能か？
• RQ3 そのようなCR多様体上における解析的 torsion の漸近展開における正確な主要項は何か？
• RQ4 CR多様体の曲率およびスペクトルデータは、torsion の漸近的挙動にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、トランスバーサルな $S^1$-作用を備えたコンパクトで強く擬凸なCR多様体上における解析的 torsion のフーリエ成分の漸近公式を導出しており、重量 $m \to \infty$ の極限において有効である。
• 漸近展開の主要項は、$\frac{\operatorname{rk}F}{2} \int_M \log\left(\det\left(\frac{m\dot{R}^L}{2\pi}\right)\right) e^{m\frac{\sqrt{-1}}{2\pi}R^L} + o(m^n)$ で与えられ、複素幾何の場合のBismut-Vasserot公式と一致する。
• スペクトルゼータ関数 $\widetilde{\zeta}(z)$ は、曲率作用素 $\dot{\mathcal{R}}$ とリーマンゼータ関数を用いて表現され、$\widetilde{\zeta}'(0)$ の評価が $\zeta(0) = -1/2$ および $\zeta'(0) = -\frac{1}{2}\log(2\pi)$ を用いて可能になる。
• 解析的 torsion は、熱核トレースの $S^1$-不変部分に等しく、torsion の $m$ 番目のフーリエ成分は、基底多様体上の $L^m$--twisted ドービュールコホモロジーに対応することが示された。
• 曲率項 $\dot{R}^L$ は接触分布へのレヴィ形式の制限から生じ、その行列式が torsion の対数補正項に現れる。
• 結果として、CR多様体 $X$（円分岐体）上の解析的 torsion が、基底複素多様体 $M$ 上の既知の正則 torsion を再現することを確認し、CR幾何と複素幾何の間の深い関係を確立した。