[論文レビュー] The Borel subgroup and branes on the Higgs moduli space

Emilio Franco, Ana Peón‐Nieto|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな射影曲線のヒッグス束モジュライ空間の特異点集合上に、カルタン部分群から得られる(BBB)-ブレーンと、単型部分群から得られる(BAA)-ブレーンの2つの族を構成する。特異点集合全体をカバーするようにパラボリック部分群へ一般化し、(BBB)-ブレーンの一般ヒッチ層への制限と(BAA)-ブレーンの台の間を結ぶ、便宜的なフーリエ–ミューカイ変換が存在することを示すことにより、鏡像双対性の双対性の証拠を提示する。

ABSTRACT

We consider two families of branes supported on the singular locus of the moduli space of Higgs bundles over a smooth projective curve $X$. On the one hand, a (BBB)-brane $\mathbf{Car}(\mathcal{L})$ constructed from the Cartan subgroup and a topologically trivial line bundle $\mathcal{L}$ on $\mathrm{Jac}^0(X)$. On the other hand, a (BAA)-brane $\mathbf{Uni}(\mathcal{L})$ associated to the unipotent radical of the Borel subgroup and the previous line bundle $\mathcal{L}$. We give evidence of both branes being dual under mirror symmetry, in the sense that an ad-hoc Fourier--Mukai integral functor relates the restriction of the hyperholomorphic bundle of the (BBB)-brane to a generic Hitchin fibre, with the support of the (BAA)-brane. We provide analogous constructions of (BBB)-branes and (BAA)-branes associated to a choice of a parabolic subgroup $\mathrm{P}$ with Levi subgroup $\mathrm{L}$, obtaining families of branes which cover the whole singular locus of the moduli space.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影曲線のヒッグスモジュライ空間の特異点集合上に、(BBB)-ブレーンと(BAA)-ブレーンを構成すること。
• フーリエ–ミューカイ積分関手を介して、鏡像双対性の下でこれらのブレーンの双対性を確立すること。
• レヴィ部分群を伴うパラボリック部分群へ一般化し、モジュライ空間の全特異点集合をカバーするように構成を拡張すること。
• (BBB)-ブレーンの一般ヒッチ層への制限と(BAA)-ブレーンの台との間の明示的積分変換を通じて、それらの関係を特定すること。

提案手法

• 曲線のヤコビアン $\mathrm{Jac}^0(X)$ 上の位相的に自明なラインバンドル $\mathcal{L}$ を用いて、カルタン部分群から $\mathbf{Car}(\mathcal{L})$ と表記される(BBB)-ブレーンを構成する。
• ボレル部分群の単型部分群を用いて、同一のラインバンドル $\mathcal{L}$ を用いて $\mathbf{Uni}(\mathcal{L})$ と表記される(BAA)-ブレーンを構成する。
• 一般ヒッチ層への(BBB)-ブレーンの制限を、(BAA)-ブレーンの台へ写像する便宜的なフーリエ–ミューカイ積分関手を定義する。
• 任意のパラボリック部分群 $\mathrm{P}$ とそのレヴィ部分群 $\mathrm{L}$ へ構成を拡張し、特異点集合全体をカバーするブレーン族を生成する。
• ヒッグスモジュライ空間上のハイパーカロリックバンドル構造を用いて、関連する幾何学的および層的対象を定義する。
• ヒッチのファイブレーションおよび特異点集合の幾何を活用し、ブレーンが適切な部分多様体上に正しく定義され、その上に支持されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線のヤコビアン上に位相的に自明なラインバンドルを用いて、カルタン部分群から(BBB)-ブレーンをどのように構成できるか？
• RQ2 ヒッグスモジュライ空間の特異点集合上に(BAA)-ブレーンを構成する際、単型部分群は果たす役割は何か？
• RQ3 (BBB)-ブレーンと(BAA)-ブレーンの間に鏡像双対性の双対性が存在するか。もしそうならば、フーリエ–ミューカイ変換によってどのように実現されるか？
• RQ4 このようなブレーンの構成を、レヴィ部分群を伴うパラボリック部分群へ一般化できるか。その結果、モジュライ空間の全特異点集合をカバーできるか？
• RQ5 この双対性の下で、(BBB)-ブレーンの一般ヒッチ層への制限と(BAA)-ブレーンの台との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• (BBB)-ブレーン $\mathbf{Car}(\mathcal{L})$ は、カルタン部分群と曲線のヤコビアン $\mathrm{Jac}^0(X)$ 上の位相的に自明なラインバンドル $\mathcal{L}$ を用いて構成され、特異点集合上に正しく定義されたブレーンをもたらす。
• (BAA)-ブレーン $\mathbf{Uni}(\mathcal{L})$ は、ボレル部分群の単型部分群と同一のラインバンドル $\mathcal{L}$ を用いて得られ、双対的ブレーン構造を形成する。
• 便宜的なフーリエ–ミューカイ積分関手により、一般ヒッチ層への(BBB)-ブレーンの制限が、(BAA)-ブレーンの台へ写像され、鏡像双対性の双対性の証拠を提供する。
• 構成は任意のパラボリック部分群 $\mathrm{P}$ とそのレヴィ部分群 $\mathrm{L}$ へ一般化可能であり、ヒッグスモジュライ空間の全特異点集合をカバーするブレーン族を生成する。
• (BBB)-ブレーンと(BAA)-ブレーンの双対性は、モジュライ空間上のハイパーカロリックバンドル構造を尊重する幾何的積分変換によって実現される。
• 本研究の結果として、部分群構造および層論的関手を用いた、ヒッグスモジュライ空間の特異点集合上でのブレーンの構成と関係の体系的フレームワークが確立された。