[論文レビュー] The C 1+ hypothesis in Pesin theory revisited

Christian Bonatti, Sylvain Crovisier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意のコンpaktoな3次元多様体上で、C¹微分同相写像の空間における一般の開集合が、非可算に多くの互いに素な双曲的エルゴード測度を支持することを示している。これらの測度の台に属する点は安定・不安定多様体を持たない——これは、より高い正則性（C²以上）の下で安定・不安定多様体の存在が保証される古典的ペジン理論とは著しく対照的である。

ABSTRACT

We show that for every compact 3-manifold M there exists an open subset of Diff 1 (M) in which every generic diffeomorphism admits uncountably many ergodic probability measures which are hyperbolic while their supports are disjoint and admit a basis of attracting neighborhoods and a basis of repelling neighborhoods. As a consequence, the points in the support of these measures have no stable and no unstable manifolds. This contrasts with the higher regularity case, where Pesin theory gives us the stable and the unstable manifolds with complementary dimensions at almost every point. We also give such an example in dimension two, without local genericity.

研究の動機と目的

• コンパクトな3次元多様体上のC¹位相におけるエルゴード測度の振る舞いを調査すること。
• より高い正則性が欠如する状況下で、一般のC¹微分同相写像に対して安定・不安定多様体が存在するかどうかを特定すること。
• 双曲的測度の台が互いに素であり、吸引的および反発的近傍を両方とも持つ例を構成すること。
• C¹の場合と、ペジン理論が安定・不安定多様体の存在を保証するより高い正則性の場合とを対比すること。

提案手法

• C¹位相における一般性を用いて、所望の力学的性質を有するDiff¹(M)の開部分集合を同定すること。
• 互いに素な台を持つ非可算個のエルゴード確率測度を構成すること。
• これらの測度の台が、吸引的近傍の基本近傍系と反発的近傍の基本近傍系の両方を有することを示すこと。これは、局所的な安定・不安定多様体が存在しないことを示唆する。
• 位相的および測度論的技法を用いて、台の構造とその力学的挙動を分析すること。
• 結果を次元2へ拡張するが、局所的一般性は3次元の場合とは異なり得ないため、より広範な適用可能性を示すこと。
• C¹におけるペジン理論の不成立を活用し、典型的な点において安定・不安定多様体の存在に反する反例を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C¹位相における3次元多様体上に、非可算個の互いに素な双曲的エルゴード測度が存在しうるか？
• RQ2 これらの測度の台に属する点が、双曲的であるにもかかわらず安定・不安定多様体を持たないのか？
• RQ3 C²正則性の欠如が、C¹設定における古典的ペジン理論の妥当性にどのように影響するか？
• RQ4 このような例は、局所的一般性が欠如する状況下でも次元2で構成可能か？
• RQ5 これらの測度の台が有する位相的および力学的性質は何か？

主な発見

• 任意のコンパクトな3次元多様体Mに対して、Diff¹(M)の開部分集合が存在し、この集合内の一般の微分同相写像は、互いに素な台を持つ非可算個のエルゴード的双曲的測度を有する。
• これらの測度の台は、吸引的近傍の基本近傍系と反発的近傍の基本近傍系の両方を有しており、局所的な安定・不安定力学が存在しないことを示している。
• これらの測度の台に属する点は、安定・不安定多様体を有さず、ペジン理論の予測とは矛盾する。
• 構成は次元2へ拡張可能であるが、3次元の場合に見られる局所的一般性は欠如する。
• 結果は、双曲的測度に対しても、古典的安定多様体理論がC¹設定で根本的に崩壊することを強調している。
• 典型的な点において安定・不安定多様体の存在が失敗することは、滑らかなエルゴード理論におけるC¹とより高い微分可能性クラスとの間の根本的な相違を浮き彫りにしている。