[論文レビュー] The character map in (twisted differential) non-abelian cohomology

Domenico Fiorenza, Hisham Sati+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 204被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、(ねじれ付き、微分付き)コホモロジーにおけるチャーン＝ドルド写像の非アーベル化を導入し、L∞-代数値微分形式を通じて非アーベルド・ラームコホモロジーへ拡張する。dg代数的有理ホモトピー論を活用することで、高次の非アーベルコホモロジーにおいてチャーン＝ヴェイとチーバー＝サイモンズのホモオーモーフィズムを統一し、M理論のフラックスコンパクト化における位相的制約を明らかにする。

ABSTRACT

We extend the Chern character on K-theory, in its generalization to the Chern-Dold character on generalized cohomology theories, further to (twisted, differential) non-abelian cohomology theories, where its target is a non-abelian de Rham cohomology of twisted L-infinity algebra valued differential forms. The construction amounts to leveraging the fundamental theorem of dg-algebraic rational homotopy theory to a twisted non-abelian generalization of the de Rham theorem. We show that the non-abelian character reproduces, besides the Chern-Dold character, also the Chern-Weil homomorphism as well as its secondary Cheeger-Simons homomorphism on (differential) non-abelian cohomology in degree 1, represented by principal bundles (with connection); and thus generalizes all these to higher (twisted, differential) non-abelian cohomology, represented by higher bundles/higher gerbes (with higher connections). As a fundamental example, we discuss the twisted non-abelian character map on twistorial Cohomotopy theory over 8-manifolds, which can be viewed as a twisted non-abelian enhancement of topological modular forms (tmf) in degree 4. This turns out to exhibit a list of subtle topological relations that in high energy physics are thought to govern the charge quantization of fluxes in M-theory.

研究の動機と目的

• チャーン＝ドルド写像を非アーベルコホモロジー理論へ一般化すること。
• 高次のコホモロジーにおいてチャーン＝ヴェイとチーバー＝サイモンズのホモオーモーフィズムを統一すること。
• 高次の bundle および gerbe に対するねじれ付き、微分付き非アーベル写像を定式化すること。
• トゥイスター的 Cohomotopy を 8 次元多様体に適用し、M理論における位相的制約を明らかにすること。
• 次数 4 におけるトポロジカルモジュラー形式 (tmf) の非アーベル化を確立すること。

提案手法

• dg代数的有理ホモトピー論を用いて、L∞-代数を通じてコホモロジーと微分形式を関連付ける。
• dg代数的有理ホモトピー論の基本定理を適用し、非アーベルド・ラーム定理を構成する。
• ねじれ付き、微分付き非アーベルコホモロジーから非アーベルド・ラームコホモロジーへの写像として、非アーベル写像を構築する。
• Dold-Kan対応と安定ホモトピー論による上昇を介して、チャーン＝ドルド写像を非アーベル設定へ拡張する。
• トゥイスター的 Cohomotopy を 8 次元多様体に適用し、E8ゲージ群とその関連する L∞-代数を用いる。
• 写像の像を通じて電荷の量子化条件を導出し、M理論のフラックスと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャーン＝ドルド写像をどのように非アーベルコホモロジー理論へ一般化できるか？
• RQ2 チャーン＝ヴェイとチーバー＝サイモンズのホモオーモーフィズムは、高次の非アーベルコホモロジーにおいてどのように統一されるか？
• RQ3 非アーベルド・ラームコホモロジーは、M理論におけるフラックス量子化をどのように記述するか？
• RQ4 8 次元多様体上のトゥイスター的 Cohomotopy において、ねじれ付き非アーベル写像はどのように振る舞うか？
• RQ5 次数 4 における非アーベル写像の像からどのような位相的制約が生じるか？

主な発見

• 非アーベル写像は、L∞-代数値形式の非アーベルド・ラームコホモロジーへ写像するチャーン＝ドルド写像の非アーベル化を一般化する。
• この写像は次数 1 においてチャーン＝ヴェイホモオーモーフィズムを再現し、接続付き主 bundle の曲率不変量を記述する。
• 次数 1 においてチーバー＝サイモンズホモオーモーフィズムへ拡張され、二次特徴類を捉える。
• 8 次元多様体上のトゥイスター的 Cohomotopy において、写像はフラックスにまつわる微妙な位相的制約を明らかにし、E8ゲージ群と関連する。
• この構成により、次数 4 におけるトポロジカルモジュラー形式 (tmf) のねじれ付き、微分付き非アーベル化が得られる。
• 写像の像は、M理論におけるフラックスの電荷の量子化条件を記述し、ディラック量子化を非アーベル的および高次の構造へ一般化する。