[論文レビュー] The coarse Baum-Connes conjecture for certain extensions and relative expanders

Jintao Deng, Qin Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正規部分群に性質Aを、商群に粗いヒルベルト空間埋め込みを備えることにより、特定の群拡張および相対的拡張子に対して粗い Baum-Connes 予想を確立する。この研究は、全群がヒルベルト空間に粗く埋め込めない場合でも予想が成り立つことを示し、自由群の特別なボックス空間および相対的拡張子に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Let $\left( 1 o N_n o G_n o Q_n o 1 ight)_{n\in \mathbb{N}}$ be a sequence of extensions of finitely generated groups with uniformly finite generating subsets. We show that if the sequence $\left( N_n ight)_{n\in \mathbb{N}} $ with the induced metric from the word metrics of $\left( G_n ight)_{n\in \mathbb{N}} $ has property A, and the sequence $\left( Q_n ight)_{n\in \mathbb{N}} $ with the quotient metrics coarsely embeds into Hilbert space, then the coarse Baum-Connes conjecture holds for the sequence $\left( G_n ight)_{n\in \mathbb{N}}$, which may not admit a coarse embedding into Hilbert space. It follows that the coarse Baum-Connes conjecture holds for the relative expanders and group extensions exhibited by G. Arzhantseva and R. Tessera, and special box spaces of free groups discovered by T. Delabie and A. Khukhro, which do not coarsely embed into Hilbert space, yet do not contain a weakly embedded expander. This in particular solves an open problem raised by G. Arzhantseva and R. Tessera \cite{Arzhantseva-Tessera 2015}.

研究の動機と目的

• 正規部分群に性質Aがあり、商群がヒルベルト空間に粗く埋め込めるような群拡張の系列に対して、粗い Baum-Connes 予想を確立すること。
• Arzhantseva と Tessera (2015) が提起した、ヒルベルト空間に粗く埋め込めない相対的拡張子およびボックス空間に関する未解決問題を解決すること。
• 粗いヒルベルト空間埋め込みを有する群に限らない範囲へ、粗い Baum-Connes 予想の適用可能性を拡張すること。
• 従来の埋め込み基準が失敗する状況においても、予想を検証するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 正規部分群系列 (N_n) における誘導された語の距離を用いて、その幾何的性質を分析すること。
• (N_n) が性質Aを有すると仮定することで、K-理論的計算に有利な幾何的挙動を保証すること。
• (Q_n) が商の距離に関してヒルベルト空間に粗く埋め込めるという仮定により、ヒルベルト空間の技法を用いることを可能にすること。
• 群の完全系列を用いて、(G_n) の幾何と (N_n) および (Q_n) の幾何との関係を関係づけること。
• ヒルベルト空間への埋め込みが欠如する可能性があるにもかかわらず、(G_n) の大規模構造を分析するための粗い幾何の道具を用いること。
• 既知の性質Aおよび粗い埋め込みに関する結果を活用し、(G_n) に対する粗い Baum-Connes 予想を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全群がヒルベルト空間に粗く埋め込めない場合でも、群拡張に対して粗い Baum-Connes 予想を検証できるか？
• RQ2 正規群と商群にどのような条件下で、拡張に対して粗い Baum-Connes 予想が成立するか？
• RQ3 ヒルベルト空間への埋め込みが欠如するにもかかわらず、相対的拡張子および自由群の特定のボックス空間は、粗い Baum-Connes 予想を満たすか？
• RQ4 正規部分群に性質Aが存在し、商群が粗く埋め込める場合、その組み合わせで予想が保証されるか？
• RQ5 弱く埋め込まれた拡張子を含まない群に対しても、予想を確立できるか？

主な発見

• 正規部分群 (N_n) が性質Aを有し、商群 (Q_n) がヒルベルト空間に粗く埋め込めるという仮定の下で、系列 (G_n) に対して粗い Baum-Connes 予想が成立する。
• Arzhantseva と Tessera が構成した相対的拡張子に対しても本結果が適用可能であり、これらはヒルベルト空間に粗く埋め込めないが、予想を満たす。
• 本研究は、Arzhantseva と Tessera (2015) が提起した相対的拡張子に関する粗い Baum-Connes 予想に関する未解決問題を解決する。
• Delabie と Khukhro が導入した自由群の特別なボックス空間に対しても、この枠組みが拡張可能であり、これらもヒルベルト空間に粗く埋め込めないが、予想を満たす。
• 本稿は、ヒルベルト空間への埋め込みが欠如しても、正規群と商群の幾何的条件が満たされていれば、粗い Baum-Connes 予想が妨げられないことを示している。