[論文レビュー] The Coherent-Constructible Correspondence for Toric Deligne-Mumford Stacks

Bohan Fang, Chiu-Chu Melissa Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、スタック的ファンを用いて、特異的可換対応（CCC）をトーリック多様体からトーリックデリーニ＝マッダム・スタックへ拡張し、スタックのT-不変完全複体のdg圏と、双対格子の余接 bundle 内の錐的ラグランジュ部分多様体に特異的台を持つ可 constructible ホロモルフィック層の間の quasi-equivalence を確立する。主な結果は、微局所幾何とT双対性を用いたトーリックDMスタックにおける不変型ホモロジー的ミラー対称性である。

ABSTRACT

We extend our previous work arXiv:1007.0053 on coherent-constructible correspondence for toric varieties to include toric Deligne-Mumford (DM) stacks. Following Borisov-Chen-Smith, a toric DM stack $\cX_\bSi$ is described by a "stacky fan" $\bSi=(N,\Si,β)$, where $N$ is a finitely generated abelian group and $\Si$ is a simplicial fan in $N_\bR=N\otimes_{\bZ}\bR$. From $\bSi$ we define a conical Lagrangian $Λ_\bSi$ inside the cotangent $T^*M_\bR$ of the dual vector space $M_\bR$ of $N_\bR$, such that torus-equivariant, coherent sheaves on $\cX_\bSi$ are equivalent to constructible sheaves on $M_\bR$ with singular support in $\LbS$.

研究の動機と目的

• トーリック多様体からトーリックデリーニ＝マッダム（DM）スタックへの可換的対応（CCC）の一般化を図ること。
• 双対格子の余接 bundle 内に、可 constructible ホロモルフィック層の特異的台を分類する錐的ラグランジュ部分多様体を定義すること。
• トーリックDMスタック上のT-不変完全複体と、関連するラグランジュ部分多様体に特異的台を持つ可 constructible ホロモルフィック層の間の quasi-equivalence を確立すること。
• 微局所化とT双対性を用いて、トーリックDMスタックの不変型ホモロジー的ミラー対称性（HMS）の導出。
• スタック的ファンの準同型および関連写像に関して、対応の関手的性とテンソル構造の整合性を証明すること。

提案手法

• 有限生成アーベル群 $N$ とスタック的データを符号化する $eta$ を持つスタック的ファン $(N, \Sigma, \beta)$ からトーリックDMスタックを構成する。
• スタック的ファンのデータを用いて、双対実ベクトル空間 $M_{\mathbb{R}}$ の余接 bundle $T^*M_{\mathbb{R}}$ 内に錐的ラグランジュ部分多様体 $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$ を定義する。
• スタック $Χ_{\mathbf{\Sigma}}$ 上のT-不変完全複体のdg圏と、$M_{\mathbb{R}}$ 上で $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$ に特異的台を持つ可 constructible ホロモルフィック層の圏との間の quasi-equivalence を確立する。
• ナドラーとトレュマンの微局所化定理を適用し、可 constructible ホロモルフィック層と $T^*M_{\mathbb{R}}$ のラグランジュ部分多様体 $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$ に台を持つ Fukaya 圏との関係を確立する。
• T双対性を用いて、スタックの導来圏とFukaya圏との関係を構築し、T双対性関手 $τ = \mu \circ \kappa$ を構成する。
• 加法写像とグラフの余接束を用いた畳み込みおよびラグランジュ対応関手を用いて、関手的性とテンソル整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換的対応（CCC）をどのようにしてトーリック多様体からトーリックデリーニ＝マッダムスタックへ拡張できるか？
• RQ2 トーリックDMスタックの双対格子上での可 constructible ホロモルフィック層の特異的台を分類する幾何的対象（ラグランジュ部分多様体）は何か？
• RQ3 微局所化関手は、導来圏とFukaya圏のテンソル積構造とどのように作用するか？
• RQ4 スタック的ファンの準同型に関して、T双対性関手を関手的に定義できるか？
• RQ5 トーリックDMスタックの不変型導来圏とそのミラーのFukaya圏との間に、完全かつモノイダルな quasi-equivalence が存在するか？

主な発見

• 本稿は、スタック的ファン $Σ = (N, Σ, β)$ に対して、双対格子 $M_{\mathbb{R}}$ の余接 bundle $T^*M_{\mathbb{R}}$ 内に錐的ラグランジュ部分多様体 $Λ_{\mathbf{\Sigma}}$ を構成し、$M_{\mathbb{R}}$ 上の可 constructible ホロモルフィック層の特異的台を分類する。
• T-不変完全複体のdg圏 $Π͐͐_{T}(\u03a7_{\mathbf{\Sigma}})$ と、$Λ_{\mathbf{\Sigma}}$ に特異的台を持つ可 constructible ホロモルフィック層の圏 $Sh_{cc}(M_{\mathbb{R}}; \u039b_{\mathbf{\Sigma}})$ の間の quasi-equivalence $κ: Π͐͐_{T}(\u03a7_{\mathbf{\Sigma}}) \to Sh_{cc}(M_{\mathbb{R}}; \u039b_{\mathbf{\Sigma}})$ を確立する。
• 微局所化関手 $μ$ は、$Sh_{cc}(M_{\mathbb{R}}; \u039b_{\mathbf{\Sigma}})$ とFukaya圏 $F(T^*M_{\mathbb{R}}; \u039b_{\mathbf{\Sigma}})$ の間の quasi-equivalence を与え、ホモロジー的ミラー対称性を可能にする。
• 合成 $τ = \mu \circ \u03ba$ は、モノイダル $A_\infty$-圏の quasi-equivalence であるT双対性関手を導く。
• 対応は関手的である：スタック的ファンの準同型に対して、誘導されるスタック、双対格子、ラグランジュ部分多様体に関する写像は、CCCおよび微局所化関手と可換である。
• 微局所化関手は、可 constructible ホロモルフィック層の畳み込み積とFukaya圏の $⊡$-積を整合させる。これによりテンソル整合性が保証される。