[論文レビュー] The cyclic theory of Hopf algebroids

Niels Kowalzig, Hessel Posthuma|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ホップ・アレブロイドの加群カテゴリと循環的双対性を用いて、系統的な循環コホモロジーおよびホモロジー理論を構築し、可換およびココローブルな場合の構造定理を確立し、Lie-Rinehart代数およびエタール群コアの具体例に対して理論を明示的に計算することで、van Est同型やジャネット代数によるLie代数コホモロジーといった既知の結果を回復する。

ABSTRACT

We give a systematic description of the cyclic cohomology theory of Hopf algebroids in terms of its associated category of modules. Then we introduce a dual cyclic homology theory by applying cyclic duality to the underlying cocyclic object. We derive general structure theorems for these theories in the special cases of commutative and cocommutative Hopf algebroids. Finally, we compute the cyclic theory in examples associated to Lie-Rinehart algebras and étale groupoids.

研究の動機と目的

• ホップ・アレブロイドの加群カテゴリを用いて、ホップ・アレブロイドの循環コホモロジーの体系的枠組みを確立すること。
• 双対な循環ホモロジー理論を、被覆的対象に循環的双対性を適用することによって定義すること。
• 可換およびココローブルなホップ・アレブロイドに対して一般構造定理を導出すること。
• 幾何的例、特にLie-Rinehart代数およびエタール群コアにおける循環理論を計算すること。
• van Est同型を通じて既知の不変量、例えばLie代数コホモロジーおよび群コアホモロジーと関連付けること。

提案手法

• ホップ・アレブロイド上の加群のカテゴリに関連する標準的被覆的対象を用いて、ホップ・循環コホモロジーを構成する。
• 基礎となる被覆的対象に循環的双対性を適用することで、双対な循環ホモロジー理論を定義する。
• ホップ・ガロア写像を用いて、循環的双対性をホップ・アレブロイド内の反作用構造に関連付ける。
• バーレゾリューションおよびコバーレゾリューションを用いて、ホップ・アレブロイドの文脈におけるHochschild理論を係数付きで記述する。
• 余不変および不変の構成を用いて、循環理論を幾何的不変量に関連付ける。
• Lie-Rinehart代数のジャネット空間構成を用いて関連するホップ・アレブロイドを定義し、その循環ホモロジーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホップ・アレブロイドの加群カテゴリを用いて、循環コホモロジーをどのように体系的に定義できるか？
• RQ2 循環的双対性を適用して得られる双対な循環ホモロジー理論の構造はいかなるものか？
• RQ3 可換およびココローブルな場合に、循環理論はどのように簡略化されるか？
• RQ4 エタール群コアの循環ホモロジーとその群コアホモロジーの関係は何か？
• RQ5 Lie-Rinehart代数の循環理論は、ジャネット代数を通じてどのようにLie代数コホモロジーを回復するのか？

主な発見

• Lie-Rinehart代数のジャネット代数の循環コホモロジーは、自明係数付きの対応するLie代数のLie代数コホモロジーと同型である。
• エタール群コアに対しては、そのジャネット代数の循環ホモロジーが群コアホモロジーと同型であり、van Est同型を一般化する。
• リー代数的バンドルの単位点におけるジャネット代数の循環ホモロジーは、対応するLie代数のLie代数コホモロジーと同型である。
• アフィン多様体の座標環の循環コホモロジーは、その代数的de Rhamコホモロジー群の積と同型である。
• Lie群コアに付随するホップ・アレブロイドの双対な循環ホモロジーは、群コアの微分コホモロジーを回復する。
• ジャネット空間を用いてリー代数的バンドルからホップ・アレブロイドを構成する手法は、非可換幾何における循環不変量を計算する一貫した枠組みを提供する。