[論文レビュー] The first five years of the AAA algorithm

Yuji Nakatsukasa, Olivier Sète+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2023

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、適応的補間点選択とバーチカル・リッジ表現を用いて、実または複素領域上の関数に対する高速かつロバストな有理近似法であるAAAアルゴリズムを提示する。AAA-LS法により、ラプラス方程式や関連する偏微分方程式（PDE）を高精度に解くことが可能となり、有理関数を用いることで多項式よりもはるかに効率的な近似が得られ、1秒未満で約7×10⁻⁷の精度を達成する。

ABSTRACT

The AAA algorithm, introduced in 2018, computes best or near-best rational approximations to functions or data on subsets of the real line or the complex plane. It is much faster and more robust than previous algorithms for such problems and has been used in many applications since its appearance, including the numerical solution of Laplace, Poisson, and biharmonic PDE problems in irregular domains. AAA has also been extended in new directions and seems likely to be a tool of lasting importance in the future.

研究の動機と目的

• 実または複素領域上の関数に対する近似最良有理近似を高速かつ数値的に安定して計算するAAAアルゴリズムを導入すること。
• 従来の手法に比べて、速度、ロバスト性、および複雑・不規則な領域への適用性において優れた性能を示すことを示すこと。
• AAAを最小最大（最良）近似に拡張するAAA-Lawson法を提案し、複雑な設定下での最良有理近似を可能にすること。
• ラプラス問題および双曲的問題を解くために、AAA近似の極を領域内と領域外に分離するAAA-LS法を開発すること。
• 特異性を含む問題、例えばPDE、リーマン＝ヒルベルト問題などに対する有理近似を基盤的ツールとして確立すること。

提案手法

• AAAアルゴリズムは、$ r(z) = \sum_{j=1}^{m} \frac{w_j f(s_j)}{z - s_j} \Big/ \sum_{j=1}^{m} \frac{w_j}{z - s_j} $ の形のバーチカル・リッジ表現を用い、極や零点が集積していても安定な計算を可能にする。
• 非線形のグリーディー手順（最大誤差が生じる位置に次のサポート点を選択）と、最適なバーチカル・リッジ重みを計算するための線形SVDベースの手順を交互に繰り返す。
• AAA-Lawson法は、繰り返し重み付き最小二乗法（IRLS）を適用して、近似最良の近似を最小最大（最良）近似に改善する。
• AAA-LS法は、AAA近似の極を領域 $ \Omega $ の内部と外部に分離し、外部の極のみを保持して、最小二乗法によるラプラス問題の解法のための基底を構成する。
• 各外部極は、最小二乗行列に実部と虚部の2つの列を寄与させ、ディリクレ問題の効率的解法を可能にする。
• 外部極 $ s_j \notin \Omega $ に対して $ 1/(z - s_j) $ が $ \Omega $ 内の調和関数の良い基底を形成することを利用し、低次の有理関数で高精度な解を得る。

Figure 1: Phase portrait of the Riemann zeta function (right) compared with that of a rational approximation based on $100$ sample points in the right half-plane (left). The AAA algorithm computes this approximation in $0.1$ s on a laptop.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極が特異性の近くに集積する場合を含め、複雑または不規則な領域上での関数に対して、有理近似を高速かつロバストに実現する方法は何か？
• RQ2 従来の手法が失敗する複雑な領域において、AAAアルゴリズムを最小最大（最良）有理近似を計算するように拡張可能か？
• RQ3 領域内部に極が存在する場合でも、有理近似を効率的にラプラス方程式や関連するPDEを解くためにどのように利用できるか？
• RQ4 境界値問題の高精度な解法を構築するにあたり、極を領域内部と外部に分離することの理論的および実用的役割は何か？
• RQ5 AAAが有理近似で成功を収めたのを受けて、ガウスフィッティングなどの他の非線形近似問題にも広がる可能性は何か？

主な発見

• AAAアルゴリズムは、単位円上での $ \exp(z) $ に対して、次数7の有理近似を0.002秒で計算し、最大誤差は $ 2.81 \times 10^{-15} $ に達する。
• リーマン・ゼータ関数に対して、100個のサンプルからなる次数37の有理近似を0.1秒で計算し、最初の2つの非自明な零点を8桁の精度で一致させる。
• AAA-LS法は、5つのリブを持つ領域上でラプラス問題を約1秒で解き、精度は約 $ 7 \times 10^{-7} $ を達成し、125個の極を持つ有理関数を用い、1点あたり約1μsで評価される。
• AAA-Lawson法は、複雑な領域において最小最大有理近似を達成し、誤差曲線は期待どおり、ほぼ一定のモジュラスと巻き数 $ 2n+1 $ を示す。
• 本手法は、解析接続、コンformalマッピング、非線形固有値問題の解法を可能にし、信号処理、磁気工学、乱流シミュレーションへの応用がある。
• AAA-LSアプローチは、曲線上を越えて極を分離する性質を活用し、ウィーナー＝ホプフ問題およびリーマン＝ヒルベルト問題を解くための新しい効果的なフレームワークを提供する。

Figure 2: The image on the left shows the error curve $(f-r)(Z)$ for best degree $n=4$ approximation of $e^{z}$ on the unit square by the AAA-Lawson algorithm [ 12 , 30 ] . The image on the right shows $|(f-r)(z)|$ as a function of $\hbox{\rm arg}(z)$ . The error curve is a curve of winding number $