[論文レビュー] The full spectrum of scl on recursively presented groups

Nicolaus Heuer|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、再帰的に提示される群における安定交換子長（scl）の集合が、非負の右計算可能実数の集合に一致することを確立している。小サバレーション群とバン・カムペン図を用いて、任意の非負の右計算可能数を実現する具体的な群を構成し、scl が減法に関して閉じていないこと、およびこの群のクラスにおけるsclの完全な特徴付けを示している。

ABSTRACT

We show that the set $SCL^{rp}$ of stable commutator lengths on recursively presented groups equals the set of non-negative right-computable numbers. Hence all non-negative algebraic or computable numbers are in $SCL^{rp}$ and $SCL^{rp}$ is not closed under subtraction. We also show that every non-negative real number is the stable commutator length of an element in some infinitely presented small cancellation group.

研究の動機と目的

• 再帰的に提示される群において生じうる安定交換子長（scl）の全集合を特定すること。
• カレガリの未解決問題、すなわち、有限提示群において代数的数や非有理数がscl値として現れるかどうかを解明すること。
• 再帰的に提示される群におけるscl値の集合が、正確に非負の右計算可能実数の集合に一致することを示すこと。
• 小サバレーション提示を用いて、任意の非負の右計算可能scl値を実現する具体的な群を構成すること。
• scl集合が加法に関しては閉じているが、減法に関しては閉じていないことを示すこと。

提案手法

• 右計算可能数を、上界が有理数の再帰的可算集合をなす実数として定義する。
• 比 m_i/n_i が減少するように選ばれた列 (m_i), (n_i) から、無限に提示される C'(1/6) 小サバレーション群を構成する。
• 曲面におけるバン・カムペン図を用いて、オイラー標数と組合せ的複雑度を推定することでsclを評価する。
• 構成された群における生成子 t のsclが、極限 lim_{i→∞} m_i/n_i に等しいことを証明する。
• すべての非負の右計算可能実数がこのような極限として現れることを活用し、それをscl値として実現すること。
• チューリングマシンの構成を用いて、scl値が右計算可能であり、かつすべてのこのような値が構成された群内で実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的に提示される群における要素の安定交換子長として生じうる非負実数はどれか？
• RQ2 代数的数や非有理数が、有限提示または再帰的に提示される群においてscl値として現れる可能性はあるか？
• RQ3 再帰的に提示される群におけるscl値の集合は減法に関して閉じているか？
• RQ4 任意の非負実数が、無限に提示される小サバレーション群におけるある要素のsclとして実現可能か？
• RQ5 すべての右計算可能scl値に対して、有限提示群による実現が可能か？

主な発見

• 再帰的に提示される群における安定交換子長の集合は、非負の右計算可能実数の集合に一致する。
• すべての非負の計算可能数および代数的数が、ある再帰的に提示される群においてscl値として実現される。
• scl値の集合は加法に関しては閉じているが、減法に関しては閉じていないことが、明示的な反例によって示された。
• 任意の右計算可能 α ≥ 0 に対して、ある無限に提示される C'(1/6) 小サバレーション群が存在し、その中に scl(t) = α を満たす要素 t が存在する。
• 列 (m_i), (n_i) を用いて比が減少するように再帰的提示を定義し、バン・カムペン図による推定により、scl が m_i/n_i の極限に等しいことを示した。
• この結果により、再帰的に提示される群におけるscl値は、上からのアルゴリズム的近似が可能なものに限ることが示された。