[論文レビュー] The Generalized Hypergeometric Structure of the Ward Identities of CFT's in Momentum Space in $d > 2$

Claudio Corianò, Matteo Maria Maglio|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 57被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$d > 2$ におけるCFTの運動量空間におけるコンフォーマル・ウォード恒等式の一般化された超幾何的構造を導出し、スカラー3点および4点関数が3K積分およびアペル $F_4$ 関数で表現可能であることを示している。双対コンフォーマル不変性により、運動量の4次比が現れる。主な貢献は、これらの超幾何的形態がコンフォーマル対称性の制約の解として同定され、ラウリチャラ関数や漸近的極限における4K積分との関係が明らかにされたことである。

ABSTRACT

We review the emergence of hypergeometric structures (of $F_4$ Appell functions) from the conformal Ward identities (CWIs) in conformal field theories (CFTs) in dimensions $d > 2$. We illustrate the case of scalar 3- and 4-point functions. 3-point functions are associated to hypergeometric systems with 4 independent solutions. For symmetric correlators they can be expressed in terms of a single 3K integral - functions of quadratic ratios of momenta - which is a parametric integral of three modified Bessel $K$ functions. In the case of scalar 4-point functions, by requiring the correlator to be conformal invariant in coordinate space as well as in some dual variables (i.e. dual conformal invariant), its explicit expression is also given by a 3K integral, or as a linear combination of Appell functions which are now quartic ratios of momenta. Similar expressions have been obtained in the past in the computation of an infinite class of planar ladder (Feynman) diagrams in perturbation theory, which, however, do not share the same (dual conformal/conformal) symmetry of our solutions. We then discuss some hypergeometric functions of 3 variables, which define 8 particular solutions of the CWIs and correspond to Lauricella functions. They can also be combined in terms of 4K integral and appear in an asymptotic description of the scalar 4-point function, in special kinematical limits.

研究の動機と目的

• $d > 2$ におけるCFTのコンフォーマル・ウォード恒等式から超幾何関数がどのように生じるかを理解すること。
• 積分表現を用いて、スカラー3点および4点関数の明示的な運動量空間表現を導出すること。
• 双対コンフォーマル不変性が、4点関数の形をアペル $F_4$ 関数および3K積分に制限する役割を確立すること。
• これらの解が、漸近的運動量配置の極限においてラウリチャラ関数および4K積分とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• $d > 2$ 次元におけるスカラー3点および4点関数の運動量空間におけるコンフォーマル・ウォード恒等式を導出する。
• 3点関数を、運動量比の2次関数としての修正ベッセル関数 $K$ を含む3K積分で表現する。
• 双対コンフォーマル不変性を適用して、4点関数を運動量の4次比を含む形に制限する。
• CWIsの解としてのアペル $F_4$ 関数を同定し、ベッセル関数のパラメトリック積分と関係付ける。
• 3変数超幾何関数を用いて、CWI系の8つの特別な解を分析する。これらはラウリチャラ関数に対応する。
• 4点関数の漸近的展開を、4K積分および3変数超幾何関数を用いて構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$d > 2$ におけるCFTの運動量空間におけるコンフォーマル・ウォード恒等式から超幾何関数が生じるか？
• RQ2 スカラー3点関数の明示的な運動量空間的構造は、積分表現を用いてどのように記述できるか？
• RQ3 双対コンフォーマル不変性は、運動量空間におけるスカラー4点関数の形をどのように制限するか？
• RQ4 ラウリチャラ関数は、コンフォーマル・ウォード恒等式の特別な解を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ5 4K積分および3変数超幾何関数は、4点関数の漸近的極限においてどのようにして現れるか？

主な発見

• スカラー3点関数は、$d > 2$ において、3つの修正ベッセル関数 $K$ の3K積分として記述され、運動量比の2次関数に対応する。
• 3点関数の解は、4つの独立解を持つ系を形成し、$F_4$ 型の超幾何関数によって実現可能である。
• コンフォーマルかつ双対コンフォーマル不変性を満たすスカラー4点関数は、3K積分または運動量の4次比を含むアペル $F_4$ 関数の線形結合として表現可能である。
• 4点関数の解は、3変数ラウリチャラ超幾何関数と関係しており、コンフォーマル・ウォード恒等式の8つの特別な解を定義する。
• 特定の運動量配置の極限において、4点関数は4K積分および3変数超幾何関数による漸近的記述を許容する。
• 導出された表現は、既知の平面ラダーダイアグラムの結果を一般化しているが、それらとは異なるコンフォーマルおよび双対コンフォーマル対称性の構造を有する。