[論文レビュー] The Geometry of Jordan Matrix Models

Michael Rios|ArXiv.org|Mar 8, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、例外的ジョルダン行列モデル—特に例外的立方行列モデルと$E_6$行列モデル—が、ミンコフスキー空間的およびツイスター幾何を一般化する非結合的幾何を生じることを確立する。例外的ジョルダン代数$\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$および例外的$C^*$代数$\mathfrak{h}_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$に関連する射影空間を分析することで、これらのモデルが例外的ツイスター射影空間の類似を生じることを明らかにし、八元数的行列モデルと双対的な例外的ツイスター弦理論の存在を示唆する。

ABSTRACT

We elucidate the geometry of matrix models based on simple formally real Jordan algebras. Such Jordan algebras give rise to a nonassociative geometry that is a generalization of Lorentzian geometry. We emphasize constructions for the exceptional Jordan algebra and the exceptional Jordan C*-algebra and describe the projective spaces related to the exceptional cubic matrix model and the E_6 matrix model. The resulting projective spaces are shown to be exceptional versions of projective twistor space, thus revealing the existence of exceptional twistor string theories that are dual to octonionic matrix models.

研究の動機と目的

• 単純な形式的実ジョルダン代数に基づく行列モデルの幾何的構造を調査すること、特に例外的ジョルダン代数$\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$を対象とすること。
• ジョルダン代数を用いて、特に八元数的およびバイオクタニオン行列モデルの文脈において、ミンコフスキー空間的幾何を非結合的幾何に一般化すること。
• 例外的立方行列モデルおよび$E_6$行列モデルに関連する射影空間を、射影ツイスター空間の例外的類似物として特定すること。
• 例外的ジョルダン代数$\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$および$\mathfrak{h}_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$の幾何を介して、八元数的行列モデルと例外的ツイスター弦理論との双対性を確立すること。
• これらの一般化されたツイスター幾何において、$SL(2,\mathbb{O})$および$E_6$が共形群および等長群として果たす役割を調査すること。

提案手法

• 本稿は、特にジョルダン積$a \circ b = \frac{1}{2}(ab + ba)$を用いて、$\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, $\mathbb{O}$上のエルミート行列から非結合的代数を定義するジョルダン代数の形式的体系を採用する。
• 定義2.2.2を用いて、$\mathfrak{h}_{n+1}(\mathbb{K})$におけるランク1射影を介して射影空間$\mathbb{KP}^n$を定義し、これにより八元数上でも一貫した幾何的解釈が可能となる。
• 例外的立方行列モデルは、$\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$の27次元$E_6$表現を用いて分析され、フレーデンタール積およびトレース条件を介して光円錐幾何が定義される。
• $E_6$行列モデルについては、$\mathfrak{h}_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$上に、$\Omega^\mu$をバイオクタニオン上の$3 \times 3$行列として定義する、チェーン＝シモンズ型の立方形式$S = f_{ijk} c(\Omega^{[i}, \rho \circ \Omega^j, \rho^2 \circ \Omega^{k]}$による作用が定義される。
• 遷移確率$\Pi_{1,2} = \mathrm{tr}(\Omega^1 \circ \Omega^2)$が、$E_6$による不変性を示すために、複素ムーファン平面$(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})\mathbb{P}^2$における距離を定義する。
• 本稿は、$\mathbb{OP}^1$上で作用する共形群として$PSL(2,\mathbb{O})$を同定し、バイオクタニオンスピンオルを用いたトップولوجカルBモデルの一般化された標的空間$\mathbb{OP}^{1|2}$を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジョルダン代数、特に例外的ジョルダン代数$\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$は、行列モデルにおいてミンコフスキー空間的幾何をどのように非結合的幾何に一般化するか？
• RQ2 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$に関連する射影空間$\mathbb{OP}^2$の幾何的構造は何か？
• RQ3 $\mathfrak{h}_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$に基づく$E_6$行列モデルは、複素ムーファン平面$(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})\mathbb{P}^2$とどのように関係するか？
• RQ4 $E_6$行列モデルは、標的空間$\mathbb{OP}^{1|2}$を有するトップولوجカル弦理論として解釈可能か？バイオクタニオンスピンオルはその際に果たす役割は何か？
• RQ5 等長群$E_6$は、複素ムーファン平面の幾何を保存する上でどのような意義を有するか？また、ツイスター弦理論との関係は何か？

主な発見

• 八元数的ジョルダン代数$\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$に基づく例外的立方行列モデルは、光円錐構造が例外的射影ツイスター空間の類似を形成する非結合的幾何を生じる。
• $\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$に関連する射影空間$\mathbb{OP}^2$は、ツイスター空間の例外的類似物であることが示され、例外的ツイスター弦理論の存在を支持する。
• $\mathfrak{h}_3(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})$に基づく$E_6$行列モデルは、ミンコフスキー空間をバイオクタニオン的設定に拡張する非結合的幾何を記述し、$E_6$をその等長群として持つ。
• 遷移確率$\Pi_{1,2} = \mathrm{tr}(\Omega^1 \circ \Omega^2)$は$E_6$に関して不変であり、複素ムーファン平面$(\mathbb{C} \otimes \mathbb{O})\mathbb{P}^2$の幾何的整合性を確認する。
• BFSS行列モデルは$\mathfrak{h}_3(\mathbb{O})$に埋め込まれ、その力学は$\mathbb{OP}^1$上で記述され、$\mathbb{OP}^{1|2}$を標的空間とするトップولوجカルBモデルと双対的であると示唆される。
• 本稿は、$\mathbb{OP}^1$上で作用する共形群として$SL(2,\mathbb{O})$を同定し、$E_6$モデルが標的空間$\mathbb{OP}^{1|2}$を有する一般化されたツイスター弦理論を記述すると提案する。