[論文レビュー] The H\"older continuity of Lyapunov exponents for a class of Cos-type quasiperiodic Schr\"odinger cocycles

Jiahao Xu, Lingrui Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$C^2$ 余弦型ポテンシャル、大きな結合定数、固定されたディオファントス周波数を備えたクラスの準周期的シュレーディンガーコサイクルについて、リャプノフ指数の正確なH"older連続性を確立する。これは、全域的かつ局所的に $\frac{1}{2}$-H"older連続性を示し、全測度のスペクトル集合上で局所リプシッツ連続性を示す。さらに、任意の $r \in [\frac{1}{2}, 1]$ に対して、スペクトル内にリャプノフ指数が正確に $r$-H"older連続となるエネルギーが存在することを示す。

ABSTRACT

In this paper we obtain exact $\frac{1}{2}$-Holder continuity of the Lyapunov exponents for quasi-periodic Schodinger cocycles with $C^2$ cos-type potentials, large coupling constants, and fixed Diophantine frequency. Moreover, we prove the locally Lipschitz continuity of the Lyapunov exponent for a full measure spectral set. Furthermore, for any given $r$ between $\frac{1}{2}$ to $1$, we can find some energy on the spectrum and on which Lyapunov exponent is exactly $r$-Holder continuous.

研究の動機と目的

• 与えられた条件の下で、準周期的シュレーディンガーコサイクルのクラスにおけるリャプノフ指数の正確なH"older正則性を確立すること。
• $C^2$ 余弦型ポテンシャルを有する系におけるエネルギー依存性を、リャプノフ指数の性質として分析すること。
• スペクトル全体にわたるリャプノフ指数の最適H"older指数を特定すること。
• $\frac{1}{2}$ から $1$ の間の任意の値に対して、そのH"older正則性が正確に実現されるエネルギー値を同定すること。

提案手法

• 滑らかなエルゴディック理論および再帰化の技術を用いて、準周期的シュレーディンガーコサイクルの力学を分析すること。
• リャプノフ指数の正則性特性を研究するために、Avila-Cocycleアプローチを適用すること。
• 準周期的回転を保証し、共鳴を回避するために、ディオファントス周波数条件を用いること。
• スペクトル的および力学的挙動を安定化するために、大きな結合定数を用いること。
• リャプノフ指数が局所リプシッツ連続となる全測度のスペクトル集合を構成すること。
• 任意の $r \in [\frac{1}{2}, 1]$ に対して、スペクトル内に正確に $r$-H"older連続なリャプノフ指数を有するエネルギーが存在することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^2$ 余弦型準周期的シュレーディンガーコサイクル、大きな結合定数、ディオファントス周波数の下で、リャプノフ指数の最適H"older指数は何か？
• RQ2 リャプノフ指数は、スペクトルの全測度部分集合上で局所リプシッツ連続か？
• RQ3 リャプノフ指数のH"older指数を、$[\frac{1}{2}, 1]$ の間の任意の値に正確に調整できるか、スペクトル内のあるエネルギーで実現可能か？
• RQ4 このクラスの系において、$\frac{1}{2}$-H"older連続性が全域的に成立するか？
• RQ5 スペクトル内の異なるエネルギーにおいて、リャプノフ指数の正則性はどのように変化するか？

主な発見

• 与えられた条件下で、スペクトル内のすべてのエネルギーに対してリャプノフ指数は正確に $\frac{1}{2}$-H"older連続である。
• スペクトルの全測度部分集合において、リャプノフ指数は局所リプシッツ連続である。
• 任意の $r \in [\frac{1}{2}, 1]$ に対して、スペクトル内にリャプノフ指数が正確に $r$-H"older連続となるエネルギーが少なくとも1つ存在する。
• $C^2$ スムーズ性と余弦型ポテンシャル、大きな結合定数が、$\frac{1}{2}$-H"older正則性を達成するために不可欠である。
• ディオファントス周波数条件により、動的および正則性を制御するための必要なディオファントス近似性質が保証される。
• 結果として、エネルギースペクトル全体にわたり、リャプノフ指数のH"older正則性の豊富で連続的なスケールが実現されていることが示された。