[論文レビュー] The Higson-Roe exact sequence and $\ell^2$ eta invariants

Moulay-Tahar Benameur, Indrava Roy|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、チーバー＝グローヴィ ℓ² ヘータ不変量を用いて、ヒグソン＝ロウ最大構造群から ℝ への ℓ² 相対ヘータ準同型を構成し、ケスワニの ℓ² 刚性定理の新たな証明を与える。この準同型を正のスカラー曲率を持つスピンディラック作用素の構造類に作用させるとスピン ℓ² ロー不変量が得られ、向き付けられたホモトピー同値に作用させると、符号作用素の ℓ² ロー不変量の差が得られる。

ABSTRACT

The goal of this paper is to solve the problem of existence of an $\ell^2$ relative eta morphism on the Higson-Roe structure group. Using the Cheeger-Gromov $\ell^2$ eta invariant, we construct a group morphism from the Higson-Roe maximal structure group constructed in [HiRo:10] to the reals. When we apply this morphism to the structure class associated with the spin Dirac operator for a metric of positive scalar curvature, we get the spin $\ell^2$ rho invariant. When we apply this morphism to the structure class associated with an oriented homotopy equivalence, we get the difference of the $\ell^2$ rho invariants of the corresponding signature operators. We thus get new proofs for the classical $\ell^2$ rigidity theorems of Keswani obtained in [Ke:00].

研究の動機と目的

• ヒグソン＝ロウ構造群上での ℓ² 相対ヘータ準同型の存在問題を解決すること。
• チーバー＝グローヴィ不変量を介して、ヒグソン＝ロウ完全系列と ℓ² ヘータ不変量の間の関係を確立すること。
• 構造準同型を用いてケスワニの古典的 ℓ² 刚性定理の新たな証明を提供すること。
• この準同型をスピンディラック作用素に作用させるとスピン ℓ² ロー不変量が得られることを示すこと。
• この準同型をホモトピー同値に作用させると、符号作用素の ℓ² ロー不変量の差が得られることを示すこと。

提案手法

• チーバー＝グローヴィ ℓ² ヘータ不変量を用いて、ヒグソン＝ロウ最大構造群から ℝ への群準同型を構成する。
• この準同型を正のスカラー曲率を持つスピンディラック作用素の構造類に作用させ、スピン ℓ² ロー不変量を導出する。
• この準同型を向き付けられたホモトピー同値の構造類に作用させ、対応する符号作用素の ℓ² ロー不変量の差を導出する。
• ヒグソン＝ロウ完全系列とその ℓ² 解析的構造群との整合性を用いて、この準同型を定義する。
• 一般化されたディラック作用素の被覆空間上の核同士の、カルデロン射影と Γ-不変同型を根拠とする。
• 作用素のトレースとソボレフ空間の同型を用いて、異なる境界値問題間の核構造を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒグソン＝ロウ最大構造群上に ℓ² 相対ヘータ準同型は存在するか？
• RQ2 チーバー＝グローヴィ ℓ² ヘータ不変量を用いて、ヒグソン＝ロウ構造群から ℝ への群準同型を定義できるか？
• RQ3 正のスカラー曲率を持つスピンディラック作用素の構造類がこの準同型のもとで写される像は何か？
• RQ4 向き付けられたホモトピー同値に関連する構造類がこの準同型のもとで写される像は何か？
• RQ5 この準同型はケスワニの ℓ² 刚性定理の新たな証明を可能にするか？

主な発見

• 正のスカラー曲率を持つスピンディラック作用素の構造類にこの準同型を作用させると、スピン ℓ² ロー不変量が得られる。
• 向き付けられたホモトピー同値の構造類にこの準同型を作用させると、対応する符号作用素の ℓ² ロー不変量の差が得られる。
• この構成により、スピンの場合と符号作用素の場合のケスワニの ℓ² 刚性定理の新たな証明が得られる。
• ℓ² 相対ヘータ準同型は適切に定義されており、ヒグソン＝ロウ完全系列の構造を保つ。
• チーバー＝グローヴィ不変量を介して、この準同型はヒグソン＝ロウ最大構造群と ℓ² 解析的構造群の両者と整合する。
• カルデロン射影と Γ-不変同型から導かれる核同型は、境界値問題間での準同型の一貫性を確認する。