[論文レビュー] The Hitchin-Witten Connection and Complex Quantum Chern-Simons Theory

Jørgen Ellegaard Andersen, Niels Leth Gammelgaard|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 60被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、複素量子クローネッカー・ゲージ理論におけるヒチン＝ウィッテン接続の曲率を微分幾何学的手法で計算し、それが量子空間上に一階微分作用素として作用することを示している。モジュリ空間に正則ベクトル場が存在しない場合、射影的平坦性が確立され、平坦SU(n)接続のモジュリ空間上の滑らかな断面の自明なバンドルへの接続を介して、テイコフラー空間全体にわたる量子状態の射影的平坦な平行移動が可能になる。

ABSTRACT

We give a direct calculation of the curvature of the Hitchin connection, in geometric quantization on a symplectic manifold, using only differential geometric techniques. In particular, we establish that the curvature acts as a first-order operator on the quantum spaces. Projective flatness follows if the Kähler structures do not admit holomorphic vector fields. Following Witten, we define a complex variant of the Hitchin connection on the bundle of prequantum spaces. The curvature is essentially unchanged, so projective flatness holds in the same cases. Finally, the results are applied to quantum Chern-Simons theory, both for compact and complex gauge groups.

研究の動機と目的

• 幾何的量子化におけるヒチン接続の曲率を直接的に微分幾何学的手法で計算すること。
• ウィッテンの提案による接続の複素ゲージ群への拡張を通じて、ヒチン接続の複素バージョンを構成すること。
• モジュリ空間に正則ベクトル場が存在しない条件の下で、ヒチン＝ウィッテン接続の射影的平坦性を確立すること。
• コンパクトおよび複素ゲージ群の両方の量子クローネッカー・ゲージ理論への結果の応用。
• ヒチン＝ウィッテン接続を用いた平行移動により、異なる複素構造間の量子空間を同定すること。

提案手法

• 第一ベッチ数と第一チャーン類が消えるシンプレクティック多様体上のヒチン接続の曲率を微分幾何学的手法で計算する。
• リーマン面のテイコフラー空間でパrametrizedされた実極化を用いて、複素ゲージ群の平坦接続のモジュリ空間への幾何的量子化を適用する。
• テイコフラー空間上に自明なバンドルを定義し、そのファイバーを平坦SU(n)接続のモジュリ空間上のクローネッカー・ラインバンドルの滑らかな断面として与える。
• ホッジ分解、ラプラシアン、およびテイコフラー空間上のベクトル場に関する共変微分を含む式を用いて、この自明なバンドル上に射影的平坦な接続を構成する。
• セール双対性を用いて、ヒッグス場をモジュリ空間上の余接ベクトルに同定し、ヒッグスバンドルの幾何とハイパーケーラー構造を結びつける。
• 滑らかな断面の空間上でのヒチン＝ウィッテン接続の明示的形を、一階微分作用素として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一ベッチ数と第一チャーン類が消えるシンプレクティック多様体上の複素構造に制限されたヒチン接続の曲率は、幾何的量子化においてどのように振る舞うか？
• RQ2 複素量子クローネッカー・ゲージ理論の文脈において、ヒチン＝ウィッテン接続が射影的平坦になる条件は何か？
• RQ3 ウィッテンのヒチン接続の複素バージョンの提案は、微分幾何学的手法を用いてどのように実現され、分析可能か？
• RQ4 テイコフラー空間でパrametrizedされた平坦SU(n)接続のモジュリ空間上の滑らかな断面の自明なバンドル上の接続の明示的形は何か？
• RQ5 リーマン面上の複素構造の変化に伴い、量子状態はどのように変化するのか？また、ヒチン＝ウィッテン接続はこの過程において果たす役割は何か？

主な発見

• 微分幾何学的手法による計算により、ヒチン接続の曲率が量子空間上に一階微分作用素として作用することが示された。
• 平坦接続のモジュリ空間に正則ベクトル場が存在しない場合、ヒチン＝ウィッテン接続は射影的平坦である。これは、種数 ≥ 2 のリーマン面上の安定バンドルに対して成立する。
• ヒチン＝ウィッテン接続は、$ C^inity(M^s, frac{L^k}) $ をファイバーとするテイコフラー空間上の自明なバンドル上に明示的に構成され、$ abla^T_V $、ラプラシアン、および共変微分を含む式で与えられる。
• モジュリ空間上に正則ベクトル場が存在しないことにより接続は射影的平坦であり、平行移動によって異なる複素構造間の量子空間が同一視される。
• 異なる実極化から生じる量子空間は、ヒチン＝ウィッテン接続に沿った平行移動により射影的に同値である。
• ヒチン＝ウィッテン接続の曲率は、元のヒチン接続と本質的に変わらないため、複素設定下でもその頑健性が確認された。