[論文レビュー] The holographic solution - Why general relativity must be understood in terms of strings

Michael Petri|ArXiv.org|May 2, 2004

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 50被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ゼロの宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式の球対称でストリングに基づく解として「ホロスター」を提案する。内部の径方向ストリングがプランクスケールの高密度な配置を形成し、特異点の生成を防ぐ。この解はシュバルツシルトに類似した外部幾何学とブラックホール熱力学（ホーキング温度と表面積に比例するエントロピー）を再現するが、イベントホライズンを必要とせず、特異点なしで情報が保存されるブラックホールの代替案を提供する。

ABSTRACT

This paper is a significantly expanded version of gr-qc/0306066. It discusses the geometric properties of the so called holographic solution, an exact, spherically symmetric solution to the Einstein field equations with zero cosmological constant. The holographic solution can be regarded as the simplest solution of the field equations including matter. Its interior matter-density follows an inverse square law: e = 1 / (8 pi r2). The interior principle pressures are P_r = - e in the radial direction and P_tan = 0 in the tangential direction. This is the equation of state of a radial arrangement of strings. The interior string type matter state is densely packed, each string occupying a transverse extension of exactly one Planck area, and bounded by a membrane consisting out of tangential pressure. The membrane's energy density is zero, as expected from string theory. Despite its simple structure, the results that can be derived from this solution are far from trivial. It is not possible to give a fair account of all relevant results in a 20-line abstract. The reader is referred to the abstract in the paper, which summarizes some of the more important results. The author appreciates any comments, critique or suggestions of new material.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の古典的で正確な球対称解を、物質とゼロの宇宙定数を伴って提案し、特異点を回避すること。
• この解がイベントホライズンが存在しないにもかかわらず、ブラックホールに類似した熱力学的性質（ホーキング温度、エントロピー-面積比例則）を示すことを証明すること。
• 内部物質状態が密に詰められた径方向ストリングで構成されており、エネルギー密度を最大化しながら因果律とユニタリティを保つことを示すこと。
• ホロスターとホログラフィー原理との関係を確立し、自由度が体積ではなく表面積に比例することを示すこと。
• ホロスターがホライズン問題、宇宙定数問題を解決し、CMBRの非一様性を説明できる宇宙論的モデルとしての可能性を検討すること。

提案手法

• 球対称で径方向ストリング物質を伴うアインシュタイン場方程式の正確な解を導出する。ここで $ P_r = -\rho $, $ P_\perp = 0 $, および $ \rho = 1/(8\pi r^2) $ を満たす。
• 重力的質量と一致する非零のストレssエネルギーを持つが質量エネルギーがゼロの境界膜を $ r \approx r_{\text{Schwarzschild}} + 2r_{\text{Pl}} $ に構築する。
• ビルホフの定理を用いて、外部時空がシュバルツシルト解と同一であることを示す。
• ローレンツ不変なストレssエネルギー張量のトレースを用いて、適切な積分により全重力的質量を計算する。
• 内部での質量を持つ粒子および質量のない粒子の測地線運動を解析し、相対論的ローレンツ因子 $ \gamma \approx \sqrt{r/r_0} $ が成り立つことを示す。ここで $ r_0 \approx 2r_{\text{Pl}} $ である。
• 測地線に従って運動する観測者の共動座標系において、局所的ハッブルフローが等方的であり、計量およびローレンツ収縮効果により物質分布が均一に見えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論の古典的で球対称な解が、物質とゼロの宇宙定数を伴いながらも、中心特異点を回避しつつブラックホール熱力学を再現できるか？
• RQ2 このような解の内部物質状態が自然にエントロピーが表面積に比例するように振る舞い、ホログラフィー原理を支持するか？
• RQ3 ホロスター内部での測地線に従う観測者の運動ダイナミクスが、観測されたハッブルフローおよび宇宙の大規模な均一性を再現できるか？
• RQ4 ホロスターの熱力学的構造（特に温度とエントロピー）が局所的幾何学およびエネルギー密度とどのように関係するか？
• RQ5 ホロスターがブラックホールや標準宇宙論モデルの有効な代替案となり得るか、特にホライズン問題と宇宙定数問題を解決する可能性を有するか？

主な発見

• ホロスター解は、$ \rho = 1/(8\pi r^2) $, $ P_r = -\rho $, および $ P_\perp = 0 $ を満たす静的で球対称なアインシュタイン方程式の正確な解であり、張力 $ \mu = 1/(8\pi r^2) $ を持つ径方向ストリングに対応する。
• ビルホフの定理により外部時空はシュバルツシルト解と同一であり、境界膜の圧力はブラックホール膜の膜パラダイムと同一である。
• 全重力的質量はストレssエネルギー張量のローレンツ不変トレースの適切な積分により与えられ、内部の相対論的粒子総数は適切な表面積に比例する。
• 局所的エントロピー密度は $ s = g/\hbar $ であり、ここで $ g $ は適切な測地線加速度である。自由エネルギーはゼロに最小化される： $ F = E - ST = 0 $ であり、これは熱的平衡を示している。
• 無限遠方におけるホーキング温度は $ 1/\sqrt{r} $ に比例し、エントロピーは $ S \propto A $ に比例する。これは定数因子を除いてベーケンシュタイン＝ホーキングの公式と一致する。
• 測地線に従って運動する観測者のフレームにおいて、物質密度は $ \rho \propto 1/\tau^2 $ に減少し、ハッブル定数は $ H = 1/\tau $ であり、径方向位置は $ r \propto \tau $ に従う。ここで $ \gamma \approx \sqrt{r/r_0} \approx 10^{60} $ であり、$ r \approx 10^{61} r_{\text{Pl}} $ において、極端なローレンツ収縮とハッブル体積内での均一性が生じる。