[論文レビュー] The homotopy theory of type theories

Chris Kapulkin, Peter LeFanu Lumsdaine|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、同一性、Σ、およびユニット型（および任意のΠ型を含む）を備えた内挿的型理論の圏に左半モデル構造を確立し、それらの高階的圏的構造をホモトピー論的枠組みで研究するためのものである。この∞-圏的型理論から、構造化された準完全圏の∞-圏への∞-関手を構成することで、内挿的型理論が∞-圏の内部言語であるという予想を明確に定式化できる。

ABSTRACT

We construct a left semi-model structure on the category of intensional type theories (precisely, on $\mathrm{CxlCat_{Id,1,Σ(,Π_{ext})}}$). This presents an $\infty$-category of such type theories; we show moreover that there is an $\infty$-functor $\mathrm{Cl}_\infty$ from there to the $\infty$-category of suitably structured quasi-categories. This allows a precise formulation of the conjectures that intensional type theory gives internal languages for higher categories, and provides a framework and toolbox for further progress on these conjectures.

研究の動機と目的

• 内挿的型理論が∞-圏の内部言語であるという予想を、高階的圏的枠組みにおいて明確に定式化するための、ホモトピー論的フレームワークを提供すること。
• 同一性、Σ、およびユニット型（およびΠ型を含む）を備えたコンテキスト付き圏の圏に、具体的には左半モデル構造という高階的圏的構造を構築すること。
• このような型理論の∞-圏から、適切に構造化された準完全圏の∞-圏への∞-関手を定義すること。
• 内挿的型理論の内部言語予想に関するさらなる進展の基盤を、取り扱いやすく明示的なモデル構造を提供することによって確立すること。

提案手法

• 構文的表現に依存しない、型理論のモデルとしてのコンテキスト付き圏（CwA）を用いる。
• 任意のCwAの対象間の同値性の概念を導入し、型理論内でのホモトピー的推論を可能にする。
• 与えられたCwAにおけるスパン同値性のCwAを構成することで、CwAモデル間の同値性を構築するための道具を提供する。
• 同値性の準完全圏を用いて、コンテキスト付き圏の圏における関手間の右ホモトピーを定義する。
• ファイブレーション圏および弱ファクタリゼーション系の理論を応用し、型理論の圏に左半モデル構造を構成する。
• （補題6.7の基準を用いて）弱同値、ファイブレーション、およびコファイブレーションのクラスが左半モデル構造の公理を満たしていることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内挿的型理論が∞-圏の内部言語であるという予想——つまり、内挿的型理論が∞-圏の内部言語であるという予想——を、高階的圏的枠組みにおいて明確に定式化できるか？
• RQ2 同一性、Σ、およびユニット型（およびΠ型を含む）を備えた内挿的型理論の圏は、その高階的圏的性質を反映するホモトピー論的構造を備えているか？
• RQ3 このような型理論の∞-圏から、構造化された準完全圏の∞-圏へのwell-behavedな∞-関手が存在するか？
• RQ4 指定された型生成子（同一性、Σ、ユニット、および任意のΠ型）を備えたコンテキスト付き圏の圏に、取り扱いやすく明示的なモデル構造としての左半モデル構造を構成できるか？

主な発見

• 同一性、Σ、およびユニット型（およびΠ型を含む）を備えたコンテキスト付き圏の圏に左半モデル構造が構成され、型理論の高階的圏的枠組みが提供された。
• このモデル構造における弱同値、ファイブレーション、およびコファイブレーションは、コファイブント領域に制限されたファクタリゼーション系を備えた左半モデル構造の公理を満たしている。
• 型理論の∞-圏から構造化された準完全圏の∞-圏への∞-関手 Cl∞ はwell-definedであり、内部言語予想の明確な定式化を可能にする。
• この構成は、CwA内での対象間の同値性の新しい概念およびスパン同値性のCwAに依存しており、これらは型理論間の同値性を構築・分析するための道具である。
• 任意の写像が同値に右ホモトープであるならば、それは自身も同値であることが示されている。また、コファイブント対象間のアナイドン写像は弱同値である。
• 型理論の圏におけるコファイブント対象はコファイブレーション圏をなしており、ホモトピー的解析に適したwell-behavedな部分圏であることが示された。