[論文レビュー] The integral representation of solutions of KZ equation and a modification by $\mathcal{K}$ operator insertion

R. Yoshioka|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 68被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$q$-deformed ボソンの単位根極限を用いて、$χ\widehat{sl}(2)_{k}$ conformal field theory における四点電流ブロックの積分表現を構成する。$q \to 1$, $t \to -1$ の極限をとることで、$q$-deformed Virasoro代数は $\mathbb{Z}_k$-parafermionic theory に還元され、$\mathcal{K}$-演算子の挿入はチャーラルボソンによって実現され、修正されたKZ方程式の明示的積分公式が得られる。

ABSTRACT

A root of unity limit of the $q$-deformed Virasoro algebra is considered. The $\widehat{sl}(2)_k$ current algebra and the integral formulas of the solutions of the KZ equations can be realized by the $q$-deformed boson at the limit and an additional boson. We explicitly construct the integral representation of the four-point blocks with a $\mathcal{K}$-operator insertion.

研究の動機と目的

• $q$-deformed Virasoro代数の単位根極限における $\widehat{sl}(2)_k$ 電流代数およびKZ方程式の積分解の実現。
• 四点電流ブロックに $\mathcal{K}$-演算子を挿入した明示的積分表現の構成。
• $\mathcal{K}$-演算子挿入によるKZ方程式の修正を、ストレステンソルおよび電流演算子とのOPE解析を通じて解明すること。
• $\mathcal{N}=2$ 4次元ゲージ理論への表面演算子挿入を介した $q$-deformed $\widehat{sl}(2)$ 理論との関係を明らかにし、AGT対応を一般化すること。

提案手法

• 単位根極限 $q \to 1$, $t \to -1$ における $q$-deformed ボソンをとり、偶数および奇数のチャーラル成分 $\phi_1(z)$ と $\phi_2(z)$ に分解する。
• $q$-deformed ヒルベルト代数の極限と追加のボソンを用いて $\widehat{sl}(2)_k$ 電流代数を実現し、レベル $k$ を整数 $m_\pm$ と $\tilde{k}$ の比によって決定する。
• $\mathcal{K}$-演算子を $\mathcal{K}^\dagger = \exp(-\phi_0^{(+)}(1))$ と表現する。ここで $\phi_0^{(+)}(z)$ はチャーラルボソン $\phi_0(z)$ の正モード成分を表す。
• 頂点演算子への作用としての $\mathcal{K}^\dagger$ のシフト作用を踏まえ、相関関数 $\langle j-2m | \Phi_{j_1}^{m_1}(1) \mathcal{K}^\dagger \Phi_{j_2}^{m_2}(z_2) | j_3 \rangle$ を用いて、修正された四点ブロックを導出する。
• $X(z)$ および $Y(z)$ から定義される $\widetilde{X}(z)$, $\widetilde{Y}(z)$, $\widetilde{\gamma}(z)$ 成分を用いて、修正ブロックの明示的積分公式を構築する。
• $\widetilde{\Phi}_j^0(z)$ と $T(w)$, $H(w)$, $E(w)$, $F(w)$ のOPEを解析し、標準KZ方程式を修正する追加項が現れることが明らかになる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位根極限 $q \to 1$, $t \to -1$ における $q$-deformed Virasoro代数はどのように還元され、どのような代数的構造が出現するか？
• RQ2 $q$-deformed ボソンのこの極限において、$\widehat{sl}(2)_k$ 電流代数およびその積分解を再構成できるか？
• RQ3 $\widehat{sl}(2)_k$ CFTにおける $\mathcal{K}$-演算子挿入付き四点電流ブロックの明示的積分表現は何か？
• RQ4 $\mathcal{K}$-演算子は標準KZ方程式にどのように影響を与え、電流およびストレステンソルとのOPEにどのような新しい項が現れるか？
• RQ5 OPE構造が示唆するように、修正されたKZ方程式は量子モノドロミー方程式に関連しているか？

主な発見

• 単位根極限 $q \to 1$, $t \to -1$ における $q$-deformed ボソンは、$\phi_1(z)$ および $\phi_2(z)$ の2つのチャーラル成分に分解され、レベル $k = \frac{2(m_+ - m_-) + \tilde{k}}{m_-}$ を持つ $\widehat{sl}(2)_k$ 電流代数を実現する。
• $\mathcal{K}$-演算子は $\mathcal{K}^\dagger = \exp(-\phi_0^{(+)}(1))$ として実現され、頂点演算子に非自明に作用し、電流ブロック構造を修正する。
• 四点ブロックに $\mathcal{K}$-挿入を施したものは $\widetilde{\Psi}_{m_1,m_2}(w_2) = \langle j-2m | \Phi_{j_1}^{m_1}(1) \widetilde{\Phi}_{j_2}^{m_2}(z_2) | j_3 \rangle$ と表現され、ここで $\widetilde{\Phi}_{j}^{m}(z)$ は $U^m$ を通じて $\mathcal{K}$-作用を統合する。
• 明示的積分公式が導出される：$m_1 = m_2 = 0$ の場合、$\widetilde{\Psi}_{0,0}(w_2) = (1-w_2)^{\frac{j_1 j_2}{2\kappa} - \frac{j_2}{2}} w_2^{\frac{j_2 j_3}{2\kappa}} (v_{j_1} \otimes e^{-e} v_{j_2})$ であり、$m_1=0, m_2=1$ の場合、$\tau$ に関する積分で、3つのべき乗因子と有理関数係数を持つ。
• $T(w_1)$ と $\widetilde{\Phi}_j^0(w_2)$ のOPEには、$-\left(j \widetilde{X}^{-1}Y \otimes 1 + \widetilde{X}^{-2} \widetilde{Y} Y \otimes e\right)$ に比例する追加項が含まれており、これはKZ方程式を修正する非標準的変換を示唆する。
• 異常なOPE挙動に起因する修正KZ方程式は、$E(w)$, $F(w)$, $H(w)$ とのOPE構造が示唆するように、量子モノドロミー方程式と関連している可能性がある。