[論文レビュー] The L_\infty-deformation complex of diagrams of algebras

Yaël Frégier, Martin Markl+1 more|ArXiv.org|Dec 16, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最小モデル上の図形置換を用いて、色付きPROPs上の代数の図の変形複体に明示的な$L_\infty$-代数構造を構成する。主な貢献は、互いに逆の写像である場合に非自明な$l_0$-項を含む、すべての$L_\infty$-作用素に対する明示的公式の提供であり、変形複体が量子マスター方程式を介して変形を支配することの証明である。

ABSTRACT

The deformation complex of an algebra over a colored PROP P is defined in terms of a minimal (or, more generally, cofibrant) model of P. It is shown that it carries the structure of an L_\infty-algebra which induces a graded Lie bracket on cohomology. As an example, the L_\infty-algebra structure on the deformation complex of an associative algebra morphism g, with the underlying cochain complex isomorphic to the Gerstenhaber-Schack complex of g, is constructed. Another example is the deformation complex of a Lie algebra morphism. The last example is the diagram describing two mutually inverse morphisms of vector spaces. Its L_\infty-deformation complex has a nontrivial constant term. Explicit formulas for the L_\infty-operations in the above examples are given. A typical deformation complex of a diagram of algebras is a fully-fledged L_\infty-algebra with nontrivial higher operations.

研究の動機と目的

• 色付きPROPs上の代数の変形複体を最小モデルを用いて定義する。
• 図形置換を介して、この複体に明示的な$L_\infty$-代数構造を構成する。
• アソシエイティブ代数およびリー代数の写像を含む主要な例において、すべての$L_\infty$-作用素に対する明示的公式を提供する。
• 互いに逆の写像である場合に、$L_\infty$-構造が非自明な$l_0$-項を有することを分析する。
• 変形複体が量子マスター方程式を満たし、変形を支配することを示す。

提案手法

• 色付きPROPs $\mathsf{P}$ の最小モデル $\alpha: (\mathsf{F}(E),\partial) \to \mathsf{P}$ を用いて、変形複体 $C^*_{\mathsf{P}}(T;T) = \operatorname{Der}(\mathsf{F}(E), \mathcal{E})$ を定義する。ここで $\mathcal{E} = \operatorname{End}_T$ であり、$\beta = \rho\alpha$ を通じて定まる。
• 複体に微分 $\delta$ を導入し、$\theta \in \operatorname{Der}(\mathsf{F}(E), \mathcal{E})$ に対して $\theta \partial$ を送る。
• 最小モデル構造を用いて、分解 $\mathsf{F}(E)$ 上の図形置換により $L_\infty$-作用素 $l_k$ を構成する。
• 特定の色付きPROPsにこの構成を適用する：アソシエイティブ代数の写像に対して $\mathbf{As}_{\texttt{B}\to\texttt{W}}$、リー代数の写像に対して $\mathbf{Lie}_{\texttt{B}\to\texttt{W}}$、互いに逆の写像に対して $\mathbf{Iso}$。
• 明示的に $l_0$、$l_1$、$l_2$ を計算し、$\mathbf{Iso}$ の場合にすべての $l_k = 0$ ($k \geq 3$) であることを示す。
• $l_1^2 = 0$ であり、Maurer-Cartan方程式に $l_0$-項が含まれることを検証し、変形理論との整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、色付きPROPs上の代数の図の変形複体に$L_\infty$-代数構造を構成できるか？
• RQ2 アソシエイティブ代数の写像に対して、$L_\infty$-作用素 $l_k$ の明示的形は何か？
• RQ3 リー代数の写像の変形複体は非自明な$L_\infty$-構造を持つか？ もしそうなら、その作用素は何か？
• RQ4 互いに逆の写像のペアの変形複体における$L_\infty$-構造は、非自明な$l_0$-項を含むことができるか？
• RQ5 $L_\infty$-構造は、変形理論における量子マスター方程式およびMaurer-Cartan方程式とどのように関係するか？

主な発見

• 色付きPROPs $\mathsf{P}$ 上の $\mathsf{P}$-代数 $T$ の変形複体 $C^*_{\mathsf{P}}(T;T)$ は、最小モデル上の図形置換によって誘導される、自然な$L_\infty$-代数構造を有する。
• アソシエイティブ代数の写像の場合、基礎となるチェイン複体はGerstenhaber-Schack複体と同型であり、$k=1,2$ および $k\geq 3$ に対してすべての$L_\infty$-作用素 $l_k$ が明示的に計算されている。
• リー代数の写像の場合、最初の$L_\infty$-作用素 $l_1$ はS-コホモロジー複体と同型であり、[9]で未解決であった問題を解決する。
• 互いに逆の写像（$\mathbf{Iso}$-代数）の場合、$L_\infty$-構造には非自明な$l_0$-項が存在し、その値は次数2において $\operatorname{Id}_U \oplus \operatorname{Id}_V$ に等しい。
• $L_\infty$-作用素 $l_1$ および $l_2$ は明示的に与えられる：$l_1$ は次数の偶奇に依存する符号規則を伴うgraded微分作用素であり、$l_2$ は合成およびスーパー可換子の公式で与えられる。
• $\mathbf{Iso}$ の場合、すべての高次作用素 $l_k$ ($k \geq 3$) は消え、$l_1^2 = 0$ は $l_2(l_0, w) = 0$ により成り立つため、標準的な変形理論の枠組みが成立することが保証される。