[論文レビュー] The many graded cellular bases of Hecke algebras

C. Bowman|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 64被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、型 G(ℓ,1,n) の複素反射群の巡回的ヘッケ代数に対して、電荷の各整数的リフトに対応する整数的グレーディング付きセルラー基底を構成する。分解行列の単三角形性を証明し、マーティン–ウッドコックの予想を、漸近的でない設定へと一般化されたグレーディング・マーフィー基底を用いて検証する。これにより、非漸近的状況へのカテゴリカルなリー理論の拡張が達成される。

ABSTRACT

We settle a long-standing problem in the theory of Hecke algebras of complex reflection groups by constructing many (graded) integral cellular bases of these algebras. As applications, we explicitly construct the simple modules of Ariki's categorification theorem and prove unitriangularity of decomposition matrices over arbitrary fields, we also prove Martin-Woodcock's conjecture.

研究の動機と目的

• 巡回的ヘッケ代数の表現論における長年の未解決問題を解消すること。
• アリキのカテゴリフィケーション定理が予言するように、各電荷に対して整数的グレーディング付きセルラー基底を構成すること。
• 任意の体において、ルシュツィッグの aσ-順序付けに関して、分解行列の単三角形性を証明すること。
• マーティン–ウッドコックの予想、すなわち非放物型カジマヌ・ルシュツィッグ多項式が分解行列に現れることを検証すること。
• 漸近的電荷からすべての可能な電荷へと、型 G(ℓ,1,n) におけるグレーディング・マーフィー基底を一般化すること。

提案手法

• Lusztigの aσ-順序付けとウグロフの aσ-グレーディングを用いて、ℓ-多重分割と標準テーブルラウの添字付けられたセルラー基底 {Aσ_st} を Hk_n(s) に構成する。
• 各基底が、ヘッケ代数の準素ヒエラルキー被覆のセルラー基底からのアイドルポテンシャル切断によって生じることを確立する。
• Clifford理論を用いて、G(ℓ,1,n) から G(ℓ,d,n) 代数への結果の拡張を行う。
• Websterのアプローチにインspiredされた離散化と図式論を適用するが、Zℓ 内の整数的リフトを用いてゴーストストランドと電荷重みを再解釈する。
• 以前の重み付けの慣習を、(Z/eZ)ℓ 内の e-電荷の整数的リフトに置き換え、組合せ論と図式論を統一する。
• 商代数 Qℓ,1,n(σ) の分解行列が Hk_n(s) の部分行列として現れ、その成分が非放物型アフィンカジマヌ・ルシュツィッグ多項式に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の電荷 σ ∈ N>1 × Zℓ の整数的リフト σ は、巡回的ヘッケ代数 Hk_n(s) の整数的グレーディング付きセルラー基底を生じるか？
• RQ2 すべての電荷について、Hk_n(s) の分解行列は、Lusztigの aσ-順序付けに関して単三角形か？
• RQ3 マーティン–ウッドコックの予想は成り立つか、すなわち、Qℓ,1,n(σ) の分解行列が Hk_n(s) の正方部分行列として現れ、その成分が非放物型アフィンカジマヌ・ルシュツィッグ多項式に等しいか？
• RQ4 Hk_n(s) のすべての既約モジュールは、各電荷に対して、セルラー・モジュールの商として明示的に構成可能か？
• RQ5 新しいセルラー基底は、準素ヒエラルキー被覆およびシュール代数との間で、モラータ同値性を介してどのように関係するか？

主な発見

• 巡回的ヘッケ代数 Hk_n(s) は、各整数的リフト σ ∈ N>1 × Zℓ に対して、別個の整数的グレーディング付きセルラー基底を有する。これは、このような基底の存在を証明する。
• 任意の体 k に対して、Hk_n(s) の分解行列は、ℓ-多重分割 Pℓ_n 上の Lusztig の aσ-順序付けに関して単三角形である。
• Hk_n(s)-モジュールの既約モジュールは、Uglov の ℓ-分割 Σℓ_n をパラメータとするセルラー・モジュール Sk_σ(λ) の標準的商として明示的に構成可能である。
• マーティン–ウッドコックの予想は確認された：商代数 Qℓ,1,n(σ) の分解行列は、Hk_n(s) の正方部分行列として現れ、その成分は型 bAℓ−1 の非放物型アフィンカジマヌ・ルシュツィッグ多項式に等しい。
• 商代数 Q1,h,n(σ) は、一般化されたテンプレリー–リーマン代数に同型であり、GLh の q-シュール代数のリングエル双対とモラータ同値である。
• 結果は、Brundan–Kleshchev–Wang の枠組みを漸近的電荷からすべての重み付けへ一般化し、ジャンツェン和公式、ホモロジー的構造、分岐則に関する既知の結果を拡張する。