[論文レビュー] The moduli space of stable coherent sheaves via non-archimedean geometry

Yunfeng Jiang|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、離散付値環上の形式的スキームとベルコヴィッチ解析的空間を用いた非アルキメデス幾何学によって、安定な連接層のモジュライ空間を構成する。d-臨界構造とモチビック積分を非アルキメデス的設定に一般化し、モチビック局所化公式を証明することで、モウリクの結果を拡張し、非アルキメデス的ドナルドソン＝トーマス不変量の基礎を築く。

ABSTRACT

We provide a construction of the moduli space of stable coherent sheaves in the world of non-archimedean geometry, where we use the notion of Berkovich non-archimedean analytic spaces. The motivation for our construction is Tony Yue Yu's non-archimedean enumerative geometry in Gromov-Witten theory. The construction of the moduli space of stable sheaves using Berkovich analytic spaces will give rise to the non-archimedean version of Donaldson-Thomas invariants. In this paper we give the moduli construction over a non-archimedean field $\kk$. We use the machinery of formal schemes, that is, we define and construct the formal moduli stack of (semi)-stable coherent sheaves over a discrete valuation ring $R$, and taking generic fiber we get the non-archimedean analytic moduli of semistable coherent sheaves over the fractional non-archimedean field $\kk$. For a moduli space of stable sheaves of an algebraic variety $X$ over an algebraically closed field $κ$, the analytification of such a moduli space gives an example of the non-archimedean moduli space. We generalize Joyce's $d$-critical scheme structure in \cite{Joyce} or Kiem-Li's virtual critical manifolds in \cite{KL} to the world of formal schemes, and Berkovich non-archimedean analytic spaces. As an application, we provide a proof for the motivic localization formula for a $d$-critical non-archimedean $\kk$-analytic space using global motive of vanishing cycles and motivic integration on oriented formal $d$-critical schemes. This generalizes Maulik's motivic localization formula for motivic Donaldson-Thomas invariants.

研究の動機と目的

• ベルコヴィッチ空間を用いた非アルキメデス的解析的幾何の枠組みにおいて、(半)安定な連接層のモジュライ空間を構成すること。
• ジョイスのd-臨界スキーム構造とキム＝リーの仮想臨界多様体を、形式的スキームおよび非アルキメデス的解析的空間へ一般化すること。
• グローバル・モチーフとモチビック積分を用いて、非アルキメデス的d-臨界解析的空間に対するモチビック局所化公式を確立すること。
• モジュライ空間の解析化を通じて、非アルキメデス的ドナルドソン＝トーマス不変量の類似物を定義すること。
• 特に、向き付け可能な形式的d-臨界スキームに対して、モウリクのモチビック局所化公式を非アルキメデス的設定に拡張すること。

提案手法

• 離散付値環 R 上の形式的スキームを用いて、(半)安定な連接層の形式的モジュライスタックを定義する。
• 特異点の一般化により、体 K 上のベルコヴィッチ非アルキメデス的解析的モジュライ空間を導出する。
• アーティンの基準を適用して、モジュライ函手が代数的スタックとして表現可能であることを証明する。
• モチビック積分を用いて、向き付け可能な形式的d-臨界スキーム上で、消滅サイクルのグローバル・モチーフを導入する。
• グローバル・モチーフを用いて、消滅サイクルのグローバル・モチーフを用いて、Gm作用の下での非アルキメデス的バージョンのモチビック局所化公式を確立する。
• 代数的モジュライ空間の解析化を、非アルキメデス的モジュライ空間の具体例として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルコヴィッチ解析的空間を用いた非アルキメデス的幾何の世界において、安定な連接層のモジュライ空間を構成できるか？
• RQ2 代数幾何学におけるd-臨界構造を、形式的スキームおよび非アルキメデス的解析的空間へどのように一般化できるか？
• RQ3 非アルキメデス的d-臨界解析的空間に対して、モチビック局所化公式が存在するか？また、モウリクの公式とどのように関係するか？
• RQ4 この構成を通じて、非アルキメデス的ドナルドソン＝トーマス不変量を定義できるか？
• RQ5 Gm作用は、非アルキメデス的不変量のモチビック局所化において果たす役割は何か？特に、標準的条件が成立しない場合にどうなるか？

主な発見

• stft形式的スキーム上の(半)安定な連接層の形式的モジュライ函手は、アーティンの基準により代数的スタックとして表現可能である。
• 代数閉体上の安定層のモジュライ空間の解析化は、非アルキメデス的解析的モジュライ空間の具体的な例を与える。
• グローバル・モチーフとモチビック積分を用いて、非アルキメデス的d-臨界解析的空間に対してモチビック局所化公式を証明した。
• この公式は、モチビックドナルドソン＝トーマス不変量のためのモウリクのモチビック局所化公式を非アルキメデス的設定に一般化している。
• この構成は、代数的モジュライ空間の解析化を通じて、非アルキメデス的ドナルドソン＝トーマス不変量を定義する基盤を提供する。
• 孤立した固定点におけるベーリング関数が仮想指数に対応すると予想されるが、完全な公式は未解決のままである。