[論文レビュー] The $p$-adic Jacquet-Langlands correspondence and a question of Serre

Sean Howe|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$p$-進モジュラー形式の完成化されたヘッケ代数と、$p$ および $\infty$ で分岐するクaternion代数の単数群上の連続的 $p$-進自己形式の完成化されたヘッケ代数の間に同型を確立し、セールが1987年に提起した問いに肯定的な答えを提示する。証明は、ホッジ＝テート周期写像やフェイク・ハッセ不変量を含む幾何的技法を用い、局所的・大域的整合性の仮定の下で、局所代数的ベクトルの非稠密性を確認する。

ABSTRACT

We show that the completed Hecke algebra of $p$-adic modular forms is isomorphic to the completed Hecke algebra of continuous $p$-adic automorphic forms for the units of the quaternion algebra ramified at $p$ and $\infty$. This gives an affirmative answer to a question posed by Serre in a 1987 letter to Tate. The proof is geometric, and lifts a mod $p$ argument due to Serre: we evaluate modular forms by identifying a quaternionic double-coset with a fiber of the Hodge-Tate period map, and extend functions off of the double coset using fake Hasse invariants. Assuming local-global compatibility with the local $p$-adic Jacquet-Langlands correspondence of Knight and Scholze, we also show that in many cases the locally algebraic vectors are not dense in the quaternionic representations that appear, confirming an expectation of Knight.

研究の動機と目的

• セールが1987年に提起した、$p$-進モジュラー形式とクaternion群上の自己形式の関係に関する問いを解消すること。
• $p$ および $\infty$ で分岐するクaternion代数の単数群上の $p$-進モジュラー形式と $p$-進自己形式の完成化されたヘッケ代数の間に同型を確立すること。
• セールが元々提示した $p$-を除く法における議論を、幾何的技法を用いて $p$-進設定に持ち上げる証明戦略を提供すること。
• 局所的・大域的整合性の仮定の下で、クaternion的 $p$-進表現における局所代数的ベクトルの稠密性を調査すること。
• 特定のクaternion的表現において、局所代数的ベクトルが稠密でないというノイトの予想を確認すること。

提案手法

• ホッジ＝テート周期写像を用いて、クaternion的二重剰因子をファイバーと同定し、モジュラー形式の評価を可能にする。
• フェイク・ハッセ不変量を用いて、二重剰因子から関数を拡張し、グローバルセクションの構成を容易にする。
• 幾何的技法を適用して、セールの $p$-を除く法における議論を $p$-進設定に持ち上げ、完成化されたヘッケ代数構造と整合性を保つ。
• ノイトとショールツェの局所的 $p$-進ジャケット＝ラングランズ対応に依拠し、局所表現とグローバル自己形式データを関連付ける。
• 完成化されたヘッケ代数の同型を用いて、モジュラー形式とクaternion的自己形式の間で性質を移す。
• $p$-進モジュラー形式およびその完成化されたヘッケ代数の理論を用いて、$p$-進設定における構造的同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$ および $\infty$ で分岐するクaternion代数の単数群上の $p$-進モジュラー形式の完成化されたヘッケ代数と、$p$-進自己形式の完成化されたヘッケ代数との間に、自然な同型が存在するか？
• RQ2 セールの $p$-を除く法におけるジャケット＝ラングランズ対応の議論を、幾何的技法を用いて $p$-進設定に持ち上げることは可能か？
• RQ3 局所的・大域的整合性の下で、クaternion的 $p$-進ジャケット＝ラングランズ対応から生じる表現において、局所代数的ベクトルが稠密でないのはどのような条件下か？
• RQ4 ノイトとショールツェの局所的 $p$-進ジャケット＝ラングランズ対応は、グローバルヘッケ代数構造とどのように相互作用するか？
• RQ5 フェイク・ハッセ不変量は、$p$-進自己形式の文脈において、二重剰因子からの関数の拡張にどの程度利用可能か？

主な発見

• $p$-進モジュラー形式の完成化されたヘッケ代数は、$p$ および $\infty$ で分岐するクaternion代数の単数群上の連続的 $p$-進自己形式の完成化されたヘッケ代数と同型である。
• この同型は、$p$-進ジャケット＝ラングランズ対応に関するセールの1987年の問いに肯定的な答えを提供する。
• 証明は幾何的であり、ホッジ＝テート周期写像を用いて二重剰因子をファイバーと同定し、フェイク・ハッセ不変量を用いてその集合から関数を拡張する。
• ノイトとショールツェの局所的 $p$-進ジャケット＝ラングランズ対応との局所的・大域的整合性の仮定の下で、特定のクaternion的表現において局所代数的ベクトルが稠密でないことを示している。
• これは、局所代数的ベクトルが関連する $p$-進表現において稠密でないというノイトの予想を確認する。
• この構成は、$p$-進設定におけるモジュラー形式とクaternion群上の自己形式の間の深い幾何的関係を示している。