[論文レビュー] The Parameterized Complexity of k-Biclique

Bingkai Lin|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、k-Clique からの fpt-還元を用いて、k-バイクリー問題の W[1]-hardness を確立し、W[1] ≠ FPT の仮定のもとで、f(k)·|G|^{O(1)}-時間アルゴリズムが存在しないことを証明する。さらに、ランダム化された指数時間仮説の下で、f(k)·|G|^{o(√k)}-時間の下界を示し、(n,k,ℓ,h)-しきい値性質を持つ確率的構成によるグラフを用いて、共通近傍サイズのギャップを生成する。

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a parameter $k$, the $k$-biclique problem asks whether $G$ contains a complete bipartite subgraph $K_{k,k}$. This is the most easily stated problem on graphs whose parameterized complexity is still unknown. We provide an fpt-reduction from $k$-clique to $k$-biclique, thus solving this longstanding open problem. Our reduction use a class of bipartite graphs with a threshold property of independent interest. More specifically, for positive integers $n$, $s$ and $t$, we consider a bipartite graph $G=(A\;\dot\cup\;B, E)$ such that $A$ can be partitioned into $A=V_1\;\dot\cup \;V_2\;\dot\cup\cdots\dot\cup\; V_n$ and for every $s$ distinct indices $i_1\cdots i_s$, there exist $v_{i_1}\in V_{i_1}\cdots v_{i_s}\in V_{i_s}$ such that $v_{i_1}\cdots v_{i_s}$ have at least $t+1$ common neighbors in $B$; on the other hand, every $s+1$ distinct vertices in $A$ have at most $t$ common neighbors in $B$. Using the Paley-type graphs and Weil's character sum theorem, we show that for $t=(s+1)!$ and $n$ large enough, such threshold bipartite graphs can be computed in $n^{O(1)}$. One corollary of our reduction is that there is no $f(k)\cdot n^{o(k)}$ time algorithm to decide whether a graph contains a subgraph isomorphic to $K_{k!,k!}$ unless the ETH(Exponential Time Hypothesis) fails. We also provide a probabilistic construction with better parameters $t=Θ(s^2)$, which indicates that $k$-biclique has no $f(k)\cdot n^{o(\sqrt{k})}$-time algorithm unless 3-SAT with $m$ clauses can be solved in $2^{o(m)}$-time with high probability. Our result also implies the dichotomy classification of the parameterized complexity of cardinality constrain satisfaction problem and the inapproximability of maximum $k$-intersection problem.

研究の動機と目的

• k-バイクリー問題が f(k)·|G|^{O(1)}-時間アルゴリズムを有するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• ギャップを保つ還元を用いて、Maximum-k-Subset-Intersection のパラメータ化された近似不可能性結果を確立すること。
• ハードネス増幅を可能にする (n,k,ℓ,h)-しきい値性質を持つグラフ族を構築すること。
• ランダム化された指数時間仮説の下で、k-バイクリー問題の下界を提供し、既存の複雑性境界を精緻化すること。
• 局所的還元と内在的なギャップを用いた、パラメータ化された近似不可能性の証明の可能性を検討すること。

提案手法

• 与えられた n 頂点のグラフ G から、ペイリー型グラフに基づく確率的手法を用いて二部グラフ H を構築する。
• 任意の k 個の頂点が G にあっても、H で少なくとも h 個の共通近傍を持つが、任意の k+1 個の頂点は高々 ℓ 個の共通近傍を持つという (n,k,ℓ,h)-しきい値性質を用いる。
• チェビシェフの不等式と和集合の上限を用いて、十分に大きな n に対して、ランダムグラフ G(n,p) が高確率でしきい値性質を満たすことを示す。
• k-Clique から k-バイクリーへの還元を適用し、G に k-クリークがあるならば H で大きな共通近傍が得られ、k-クリークがないならば小さな共通近傍しか得られないことを示す。
• 交差サイズにギャップを導出する：s = k(k−1)/2 個の集合に対して、G に k-クリークがある場合の交差サイズは n^{Θ(1/k)}、そうでない場合は (k+1)! である。
• ランダム化された指数時間仮説を用いて、k-バイクリー問題に対して f(k)·|G|^{o(√k)}-時間アルゴリズムが存在しないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-バイクリー問題は、k をパラメータとする標準的パラメータ化のもとで W[1]-hard か？
• RQ2 共通近傍サイズのギャップを構築することで、パラメータ化された近似不可能性の結果を得られるか？
• RQ3 ランダム化された指数時間仮説の下で、k-バイクリー問題に f(k)·|G|^{o(√k)}-時間アルゴリズムが存在するか？
• RQ4 還元を確率的ではなく明示的に行えるようにすることで、標準的な ETH の下で下界を強化できるか？
• RQ5 ギャップに基づく還元技法を、他のパラメータ化された最適化問題へ一般化できるか？

主な発見

• k-バイクリー問題は W[1]-hard であり、W[1] ≠ FPT の仮定のもとで、f(k)·|G|^{O(1)}-時間アルゴリズムが存在しないことを示す。
• ランダム化された指数時間仮説の下で、k-バイクリー問題に対して f(k)·|G|^{o(√k)}-時間の下界が成立する。
• 還元により、s = k(k−1)/2 個の集合からなる集合族 F が構築され、G に k-クリークがある場合、任意の s 個の集合の交差サイズは少なくとも n^{Θ(1/k)} であるが、そうでない場合は高々 (k+1)! である。
• 十分に大きな n に対して、(n,k,ℓ,h)-しきい値グラフの確率的構成が確率 9/10 以上で成功する。
• 還元は局所的であり、各出力ビットが入力ビットの定数個にのみ依存する。これは、グローバルな PCP に基づく還元とは対照的である。
• この結果により、同じ仮定のもとで、Maximum-k-Subset-Intersection を n^{o(1/√k)} の比で近似する f(k)·n^{o(√k)}-時間アルゴリズムが存在しないことが除外される。