[論文レビュー] The Sasaki Join, Hamiltonian 2-forms, and Constant Scalar Curvature

Charles P. Boyer, Christina W. Tønnesen-Friedman|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、正則なササキ多様体と重み付きササキ3球面を一般化されたジョイン構成で結合することで、定数スカラー曲率（CSC）の新しい明示的ササキ計量、特にササキ・アインシュタイン計量を構成する。結果として得られるケーラー軌道空間の基底上でハミルトニアン2形式を用いた変形により、次元 $2n+3$ のコンパクトなササキ多様体上で、複数のCSCの放射線（不規則なものも含む）が存在することを証明した。固定されたCRおよび接触多様体上でのCSC構造の非一意性が示された。

ABSTRACT

We describe a general procedure for constructing new Sasaki metrics of constant scalar curvature from old ones. Explicitly, we begin with a regular Sasaki metric of constant scalar curvature on a 2n+1-dimensional compact manifold M and construct a sequence, depending on four integer parameters, of rays of constant scalar curvature (CSC) Sasaki metrics on a compact Sasaki manifold of dimension $2n+3$. We also give examples which show that the CSC rays are often not unique on a fixed strictly pseudoconvex CR manifold or a fixed contact manifold. Moreover, it is shown that when the first Chern class of the contact bundle vanishes, there is a two dimensional subcone of Sasaki Ricci solitons in the Sasaki cone, and a unique Sasaki-Einstein metric in each of the two dimensional sub cones.

研究の動機と目的

• コンパクトなササキ多様体上で、一般化されたジョイン構成を用いて、定数スカラー曲率（CSC）の新しい明示的ササキ計量を構成すること。
• 固定された厳密に擬強凸CR多様体上で、ササキコーン内の変形を用いてCSC構造の存在と多重性を調査すること。
• ケーラー軌道空間の基底上で、ハミルトニアン2形式形式をササキ設定に拡張し、軌道空間上で extremal および CSC ケーラー計量を構成すること。
• ジョイン構成の文脈において、ササキ・リッチソリトンの構造と、それらがケーラー・リッチソリトンとどのように関係するかを分析すること。
• 固定されたCRおよび接触構造の下で、ササキコーン内にCSCの放射線が一意でないことを示すこと。

提案手法

• 重み $w_1, w_2$ が互いに素である重み付き3次元球面 $S^3_{\bf{w}}$ と正則ササキ多様体 $M$ のササキジョイン $M_{l_1,l_2,\bf{w}} = M \bowtie_{l_1,l_2} S^3_{\bf{w}}$ を構成する。
• ケーラー軌道空間の基底 $S_n = \mathbb{P}(\mathcal{O} \oplus L_n)$ 上でハミルトニアン2形式形式を用い、 extremal ケーラー計量を構成する。
• 2次元の ${\bf w}$-ササキコーン内での変形により、横断的ケーラー幾何学を用いて、定数スカラー曲率のササキ計量を導出する。
• 適応可能な構成フレームワークを用い、 extremal ササキ方程式を区間 $[-1,1]$ 上の2階常微分方程式に還元して解く。
• 横断的ケーラー・リッチソリトン方程式 $\rho^T - \lambda \omega^T = \pounds_V \omega^T$ を適用し、コーン内にササキ・リッチソリトンの存在を証明する。
• スケーリング不変性とパラメータ依存性の滑らかさを活用し、基底がケーラー・アインシュタインの場合に、${\bf w}$-ササキコーンのすべての放射線にササキ・リッチソリトンが存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の計量から幾何的ジョイン操作を用いて、定数スカラー曲率の新しい明示的ササキ計量を構成できるか？
• RQ2 ジョイン多様体のササキコーンが、同一のCRおよび接触多様体上で複数の異なるCSC放射線を有する条件は何か？
• RQ3 ケーラー軌道空間の基底上でのハミルトニアン2形式形式が、 extremal および CSC ササキ計量の構成にどのように寄与するか？
• RQ4 ササキジョイン構成の文脈において、ササキ・リッチソリトンとケーラー・リッチソリトンの関係は何か？
• RQ5 ササキコーンに2次元のササキ・リッチソリトン部分コーンが存在するのはいつか？また、一意なササキ・アインシュタイン計量が存在するのはいつか？

主な発見

• 任意の定数スカラー曲率の正則ササキ多様体 $M$ と、互いに素な正の重み $w_1 > w_2 > 0$ に対して、${\bf w}$-ササキコーン内に、対応するササキ構造の放射線が定数スカラー曲率をもつリーブベクトル場が存在する。
• 基底ケーラー多様体 $N$ のスカラー曲率 $s_N \geq 0$ を満たす場合、${\bf w}$-ササキコーン全体が extremal ササキ計量によって埋め尽くされる。
• $s_N > 0$ かつ $l_2$ が十分に大きい場合、${\bf w}$-ササキコーンには少なくとも3つの異なるCSC放射線が存在し、固定されたCR多様体上での非一意性が示される。
• 本稿では、$S^2$ 上の2つの $S^5$-バンドルに対して、無限に多くの同値でない接触構造の族を構成し、それぞれが少なくとも3つのCSC放射線を有することを示した。
• 基底 $N$ が正のスカラー曲率のケーラー・アインシュタインの場合、${\bf w}$-ササキコーン全体に2次元のササキ・リッチソリトン部分コーンが存在し、各放射線がササキ・リッチソリトン構造を有する。
• ケーラー・アインシュタイン基底条件の下で、一般化された適応可能な構成をリッチソリトン設定に拡張することで、${\bf w}$-ササキコーンのすべての放射線にササキ・リッチソリトンの存在が証明された。