[論文レビュー] The Semiclassical Einstein Equation on Cosmological Spacetimes

Daniel Siemssen|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2015

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 211被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、質量のある conformally coupled スカラー場と結合する平坦な宇宙論的時空における半古典的アインシュタイン方程式を調査し、バナッハ不動点定理を用いて解のグローバル存在を証明する。量子エネルギー運動量テンソルのモーメントを確率的アインシュタインテンソルに結合する枠組みを拡張し、量子揺らぎがニュートン的摂動を受ける de Sitter 背景において自然にほぼスケール不変なパワースペクトルと非ガウス性を生成することを示す。

ABSTRACT

The subject of this thesis is the coupling of quantum fields to a classical gravitational background in a semiclassical fashion. It contains a thorough introduction into quantum field theory on curved spacetime with a focus on the stress-energy tensor and the semiclassical Einstein equation. Basic notions of differential geometry, topology, functional and microlocal analysis, causality and general relativity will be summarised, and the algebraic approach to QFT on curved spacetime will be reviewed. Apart from these foundations, the original research of the author and his collaborators will be presented: Together with Fewster, the author studied the up and down structure of permutations using their decomposition into so-called atomic permutations. The relevance of these results to this thesis is their application in the calculation of the moments of quadratic quantum fields. In a work with Pinamonti, the author showed the local and global existence of solutions to the semiclassical Einstein equation in flat cosmological spacetimes coupled to a scalar field by solving simultaneously for the quantum state and the Hubble function in an integral-functional equation. The theorem is proved with a fixed-point theorem using the continuous functional differentiability and boundedness of the integral kernel of the integral-functional equation. In another work with Pinamonti the author proposed an extension of the semiclassical Einstein equations which couples the moments of a stochastic Einstein tensor to the moments of the quantum stress-energy tensor. In a toy model of a Newtonianly perturbed exponentially expanding spacetime it is shown that the quantum fluctuations of the stress-energy tensor induce an almost scale-invariant power spectrum for the perturbation potential and that non-Gaussianties arise naturally.

研究の動機と目的

• 平坦な宇宙論的時空に質量のある conformally coupled スカラー場を結合する半古典的アインシュタイン方程式のグローバル解の存在を確立すること。
• モーメントに基づく結合を用いて、量子エネルギー運動量テンソルの揺らぎを半古典的枠組みに統合することによる拡張。
• 量子揺らぎが自然にほぼスケール不変なパワースペクトルと非ガウス的特徴を宇宙論的摂動に生じさせることを調査すること。
• 平均場近似を超える、量子場を古典的重力に一貫して結合する枠組みの構築。
• 関数解析、微局所解析、局所的に共変な量子場理論といった高度な数学的道具を用いて、半古典的重力における基礎的および動的問題を解決すること。

提案手法

• ハッブル関数と量子状態を含む積分関数方程式として半古典的アインシュタイン方程式を定式化すること。
• 連続的な関数的微分可能性と積分核の有界性を活用し、バナッハ不動点定理を適用して局所的およびグローバルな解の存在を証明すること。
• 曲がった時空上の代数的および局所的に共変な量子場理論のアプローチを用いて、物理的に意味のある量子状態を定義すること。
• 宇宙論的背景において適切な量子状態として、ハダマール状態とアディアバティック状態を用いること。
• 量子エネルギー運動量テンソルのモーメントをアインシュタインテンソルのモーメントに結合する確率的拡張を導入すること。
• 摂動の統計的性質を研究するために、指数的膨張する時空に対するニュートン的摂動を施したトロイモデルを分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な宇宙論的時空に質量のある conformally coupled スカラー場を結合する半古典的アインシュタイン方程式に対して、グローバル解の存在を証明できるか？
• RQ2 量子エネルギー運動量テンソルの揺らぎを半古典的重力枠組みに一貫して組み込む方法は何か？
• RQ3 量子揺らぎの組み込みによって、宇宙論的摂動のほぼスケール不変なパワースペクトルが得られるか？
• RQ4 非ガウス的特徴が、半古典的宇宙論モデルにおける量子エネルギー運動量テンソルの揺らぎから自然に生じるか？
• RQ5 モーメントに基づく半古典的アインシュタイン方程式の拡張において、解の存在と安定性を保証するために必要な数学的技法は何か？

主な発見

• 平坦な宇宙論的時空に質量のある conformally coupled スカラー場を結合する半古典的アインシュタイン方程式のグローバル解が存在することが、バナッハ不動点定理を用いて証明された。
• 積分関数方程式の定式化により、関数的微分可能性と核の有界性が保証され、反復解の収束が可能になった。
• 提案された確率的拡張は、量子エネルギー運動量テンソルのモーメントをアインシュタインテンソルのモーメントに結合し、平均場近似を越えたものとなった。
• ニュートン的摂動を受ける de Sitter モデルにおいて、エネルギー運動量テンソルの量子揺らぎが摂動ポテンシャルのほぼスケール不変なパワースペクトルを生成した。
• 高次モーメントの結合から非ガウス性が自然に生じ、初期宇宙の統計的特徴の量子的起源を示唆した。
• この枠組みは、曲がった時空上の量子場理論と半古典的重力の間の整合性を、宇宙論的状況において示した。