[論文レビュー] The sixth Painleve equation as similarity reduction of b gl 3 hierarchy

Saburo Kakei, Tetsuya Kikuchi|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2005

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、b gln型Drinfel'd-Sokolov階層のスケーリング対称性を調査し、類似還元を適用して(n + 1)個の正則特異点をもつSchlesinger方程式を導出する。n = 3の場合、還元により第6パンルヴェ方程式が得られ、可積分階層とパンルヴェ超越関数の間の直接的な関係を確立する。

ABSTRACT

Scaling symmetry of b gln-type Drinfel’d-Sokolov hierarchy is investigated. Applying similarity reduction to the hierarchy, one can obtain the Schlesinger equation with (n + 1) regular singularities. Especially in the case of n = 3, the hierarchy contains the three-wave resonant system and the similarity reduction

研究の動機と目的

• b gln型Drinfel'd-Sokolov階層のスケーリング対称性を分析すること。
• 類似還元が階層を正則特異点をもつ系にどのように変換するかを調査すること。
• n = 3の特定のケースが第6パンルヴェ方程式をもたらすことを特定すること。
• この還元手続きを通じて、可積分階層とパンルヴェ超越関数の間の関係を確立すること。

提案手法

• スケーリング対称性を用いてb gln型Drinfel'd-Sokolov階層に類似還元を適用すること。
• 還元系として(n + 1)個の正則特異点をもつSchlesinger方程式を導出すること。
• n = 3のケースに注目し、得られる系を詳細に検討すること。
• 三波共鳴系がb gl3階層の一部であることを特定すること。
• b gl3階層の類似還元が第6パンルヴェ方程式に至ることを示すこと。
• 階層の構造を用いて既知の可積分系およびパンルヴェ方程式と接続すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 b gln型Drinfel'd-Sokolov階層のスケーリング対称性は、どのように類似還元を生じさせるか？
• RQ2 b gl3階層に類似還元を適用した場合、どのような系が得られるか？
• RQ3 第6パンルヴェ方程式はどのようにb gl3階層の還元として実現されるか？
• RQ4 三波共鳴系はb gl3階層においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 4つの正則特異点をもつSchlesinger方程式は、この文脈でどのような意味を持つのか？

主な発見

• b gln型Drinfel'd-Sokolov階層の類似還元により、(n + 1)個の正則特異点をもつSchlesinger方程式が得られる。
• n = 3の場合、階層には三波共鳴系が成分として含まれる。
• 類似還元プロセスにより、n = 3の場合は第6パンルヴェ方程式が得られる。
• 4つの正則特異点をもつ系は第6パンルヴェ方程式に対応する。
• 還元により、b gl3階層とパンルヴェ超越関数の間の直接的な関係が確立される。
• スケーリング対称性は、正則特異点をもつ還元可積分系を生成するために不可欠である。