[論文レビュー] The Small Maturity Implied Volatility Slope for L\'evy Models

Stefan Gerhold, I. Cetin Gülüm|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限活動性指数過程の満期が0に近づく際の ATM implied バイオラティリティの勾配を、Mellin 変換の漸近解析を用いて分析する。主な貢献は、勾配の増加率を明確に定量化し、モデルのジャンプ活動と関連づけ、リーのモーメント公式によるスマイリルの翼の傾きと結びつけることにある。

ABSTRACT

We consider the at-the-money strike derivative of implied volatility as the maturity tends to zero. Our main results quantify the growth of the slope for infinite activity exponential Levy models. As auxiliary results, we obtain the limiting values of short maturity digital call options, using Mellin transform asymptotics. Finally, we discuss when the at-the-money slope is consistent with the steepness of the smile wings, as given by Lee's moment formula.

研究の動機と目的

• 無限活動性指数過程における満期が0に近づく際の ATM implied バイオラティリティ勾配の増加率を定量化すること。
• Mellin 変換の漸近解析を用いて、短期満期におけるデジタル・コール・オプションの極限値を導出すること。
• リーのモーメント公式が示すスマイリルの翼の傾きと、ATM 勾配の整合性を検証すること。

提案手法

• 短期満期極限におけるデジタル・コール・オプションの挙動を分析するため、Mellin 変換の漸近解析を応用すること。
• 無限活動性 Lévy 確率過程における基礎資産価格の極限分布を導出すること。
• 特性関数およびモーメント母関数を用いて、インプライド・バイオラティリティ・サーフェスの小時間挙動を特徴付けること。
• 満期が0に近づく極限における展開技術を用いて、ATM でのインプライド・バイオラティリティ勾配を明示的に計算すること。
• 導出された勾配を、リーのモーメント公式が提示するスマイリルの翼の傾きに関する理論的上限と比較すること。
• Lévy 確率過程のジャンプ活動と、ATM 近辺のインプライド・バイオラティリティ・スマイリルの曲率との関係を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限活動性指数過程において、満期が0に近づく際、ATM でのインプライド・バイオラティリティ勾配はどのように振る舞うか？
• RQ2 これらのモデルにおける短期満期におけるデジタル・コール・オプションの極限値は何か？
• RQ3 リーのモーメント公式が予測するスマイリルの翼の傾きと、ATM 勾配の整合性はどの程度保たれるか？
• RQ4 Lévy 確率過程のジャンプ活動は、インプライド・バイオラティリティ・サーフェスの漸近的勾配にどのように影響するか？
• RQ5 Mellin 変換の漸近解析は、Lévy モデルにおけるインプライド・バイオラティリティの小時間挙動に対して、正確な定量的推定を可能にするか？

主な発見

• 無限変動路路を持つ無限活動性 Lévy モデルでは、ATM でのインプライド・バイオラティリティ勾配が時間の逆平方根に比例して増加する。
• Mellin 変換の漸近解析を用いて、短期満期におけるデジタル・コール・オプションの極限値が導出され、正確な小時間近似が得られた。
• 適切なモーメント条件の下で、インプライド・バイオラティリティ・サーフェスの勾配が、リーのモーメント公式が提示するスマイリルの翼の傾きの上界と整合することが示された。
• 無限ジャンプ活動を持つモデルは、有限活動性モデルと比較して、短期間においてより急勾配のインプライド・バイオラティリティを示す。
• 勾配の漸近的挙動は、Lévy 確率過程のジャンプ活動を特徴付けるブルメンタール＝ゲトゥア指数に強く依存する。
• 導出された勾配式により、モデルが予測するインプライド・バイオラティリティのダイナミクスと、満期に近い実市場のスマイリルパターンとの直接比較が可能になった。