[論文レビュー] The symmetric Square of the Theta Divisor in Genus 4

Thomas Krämer, Rainer Weissauer|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般の genus 4 の principally polarized abelian threefold における theta divisor の対称平方を、Tannakian formalism と perverse sheaf の convolution を用いて、Hodge 構造の変動を分析することで研究している。Tannakian group が $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$ であることを証明し、genus 4 における theta divisor の cohomology の表現論的構造に関する予想を確認した。

ABSTRACT

We discuss variations of Hodge structures on abelian varieties that arise from intersecting translates of theta divisors with a special focus on the case of abelian varieties of dimension 4

研究の動機と目的

• 一般の principally polarized abelian threefold of genus 4 における perverse sheaf $\delta_\Theta$ に関連する Tannakian group $G(X,\Theta)$ を特定すること。
• g=4 の場合に $G(X,\Theta) = \mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$ であるという予想を検証すること。これは $g \leq 3$ の既知の結果を拡張する。
• 対称平方と交代平方から得られる perverse sheaves $\delta_\pm$ の単純性を確立すること。
• $Y_x = \Theta_x \cap \Theta_{-x}$ 上の Hodge 構造を Mumford-Tate 群および cubic threefolds の中間ヤコビ多様体に関連付けること。
• degeneration 技法と制限函手を用いて問題を曲線のヤコビ多様体に還元し、表現論的分類を可能にする。

提案手法

• Tannakian formalism を用いて、アーベル多様体上の perverse sheaf の圏を再帰的群 $G(X,\Theta)$ の表現として記述する。
• We2 の tensor category 内での perverse sheaves の convolution 積を適用し、$\delta_\pm$ が $\delta_\Theta$ の対称平方および交代平方として同定する。
• 一般の genus 4 の曲線のヤコビ多様体への degeneration を用い、制限函手 $\rho: \mathrm{Rep}(G(X,\Theta)) \to \mathrm{Rep}(G_\Psi)$ を誘導する。
• Hodge 構造の分析に、Mumford-Tate 群 $\mathrm{MT}(\Theta)_{sc} = \mathrm{Sp}(8,\mathbb{C}) \times \mathrm{Sp}(10,\mathbb{C})$ を用い、hypercohomology 計算を行う。
• computer algebra systems (MAGMA と SAGE) を用いて hypercohomology $\mathbb{H}^\bullet(X, \delta_\pm)$ を計算し、結果を不可約表現に分解する。
• Lefschetz 固定点定理を適用し、$\sigma = -\mathrm{id}_X$ が表現 $B$ 上に自明に作用することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の principally polarized abelian threefold of genus 4 に対して、Tannakian group $G(X,\Theta)$ は何か？
• RQ2 対称平方と交代平方として構成された perverse sheaves $\delta_\pm$ は、 perverse sheaves の圏において単純か？
• RQ3 Tannakian category 内で、$G(X,\Theta)$ の $\delta_\Theta$ 上の表現が、genus 4 における $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$ の標準表現に対応するか？
• RQ4 $\sigma = -\mathrm{id}_X$ の作用の下で、$Y_x = \Theta_x \cap \Theta_{-x}$ 上の Hodge 構造はどのように分解されるか？
• RQ5 theta divisor の Mumford-Tate 群を用いて、hypercohomology を通じて $\delta_\pm$ の cohomology を分類できるか？

主な発見

• 一般の ppav of genus 4 に対して、Tannakian group $G(X,\Theta)$ は $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$ である。これは Conjecture C を確認した。
• perverse sheaf $\delta_\Theta$ は、Tannakian 圏内での $\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C})$ の標準表現に対応する。
• Hodge 構造の変動 $\mathcal{V}_\pm$ は単純であり、Conjecture A を支持する。
• hypercohomology $\mathbb{H}^\bullet(X, \delta_\pm)$ は、$\mathrm{Sp}(8,\mathbb{C}) \times \mathrm{Sp}(10,\mathbb{C})$ の不可約表現に分解され、その明示的分解は表1に与えられている。
• involution $\sigma = -\mathrm{id}_X$ は表現 $B$ 上に自明に作用する。これは、$\Theta$ 上の 120 個の 2- torsion 点を用いた Lefschetz 固定点定理による検証で確認された。
• 表現 $\mathbb{H}^\bullet(X, \delta_\pm)$ の genus 4 の曲線のヤコビ多様体への制限は、表2で計算された $JC$ 上の $\delta_{a,b}$ の Hodge 構造と一致する。