[論文レビュー] The tautological ring of the moduli space M_{2,n}^rt

Mehdi Tavakol|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、$ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ が $ n $ 次にソクルをもつゴレンスタイン代数であることを、$ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ と $ F(X,n) $ のフルトン＝マクフィアソンコンパクト化 $ X[n] $ のタウトロジカルな環との同型を示すことによって確立している。この同型は、$ R^*(X^n) $ の関係と $ \overline{M}_{2,n} $ 上のタウトロジカル関係を活用して得られる。主な結果として、このモジュライ空間におけるゴレンスタイン予想が genus 2 で確認される。

ABSTRACT

We study the tautological ring of the moduli space of stable n-pointed curves of genus two with rational tails. The algebra is described in terms of explicit generators and relations. It is proven that this algebra is Gorenstein.

研究の動機と目的

• genus 2 曲線に有理尾を持つモジュライ空間 $ M_{2,n}^{rt} $ のタウトロジカルな環 $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ の構造を特定すること。
• genus 2 におけるタウトロジカルな環のゴレンスタイン予想を、$ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ が $ n $ 次にソクルをもつゴレンスタイン代数であることを示すことによって検証すること。
• 固定された genus 2 曲線 $ X $ における、$ M_{2,n}^{rt} $、$ F(X,n) $ の配置空間、およびそのフルトン＝マクフィアソンコンパクト化 $ X[n] $ のタウトロジカルな環の間の関係を確立すること。
• $ R^*(X^n) $ および $ R^*(X[n]) $ のタウトロジカル関係を分析し、両者がゴレンスタインであることを示し、これにより $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ の構造を同定すること。

提案手法

• $ M_{2,n}^{rt} $ を、自然な準同型 $ \overline{M}_{2,n} \to \overline{M}_2 $ による $ M_2 $ の逆像として定義し、有理尾を持つ安定な $ n $ 点付加 genus 2 曲線をパラメトライズする。
• 固定された genus 2 曲線 $ X $ 上での $ \overline{M}_{2,n} \to \overline{M}_2 $ の簡約化ファイバー $ X[n] $ を用い、これは $ F(X,n) $ のフルトン＝マクフィアソンコンパクト化である。このファイバーを介してタウトロジカルな環を関連付ける。
• $ R^2(X^3) $ および $ R^3(X^6) $ における関係、特にファバール＝パンダリパーンド関係およびベロルウスキー＝パンダリパーンド関係を分析することにより、$ R^*(X^n) $ がゴレンスタインであることを証明する。
• 特定の特性多項式 $ P_{W/X^n}(t) $ の展開における単項式がタウトロジカルな環内で消えることを確認することで、$ R^*(X[n]) $ がゴレンスタインであることを示す。
• $ X[n] $ 上のタウトロジカル関係（例：$ P_{Z/X^n}(-\sum_{I \subseteq J} D_J) = 0 $）が $ M_{2,n}^{rt} $ に下方に降下することを示し、$ R^*(X[n]) \to R^*(M_{2,n}^{rt}) $ の同型を確立する。
• $ \prod_{i \neq j \in I} (d_{i,j} - \sum_{I \subseteq J} D_J) $ の展開におけるすべての単項式が $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ 内で消えることを検証し、同型およびゴレンスタイン性質を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファバールの予想が示すように、タウトロジカルな環 $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ はゴレンスタイン代数であるか？
• RQ2 固定された genus 2 曲線 $ X $ に対して、$ R^*(X^n) $ の構造は何か？ また、$ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ とどのように関係するか？
• RQ3 フルトン＝マクフィアソンコンパクト化 $ X[n] $ のタウトロジカルな環を用いて $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ を記述できるか？ また、$ R^*(X[n]) $ はゴレンスタインであるか？
• RQ4 $ R^*(X^n) $ および $ R^*(X[n]) $ のタウトロジカル関係は $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ に下方に降下するか？ そして、それらはゴレンスタイン性質を示唆するか？
• RQ5 $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ のソクル次数は何か？ また、ゴレンスタイン予想が予測するように $ n $ 次に一致するか？

主な発見

• $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ は $ n $ 次にソクルをもつゴレンスタイン代数であり、これは genus 2 におけるモジュライ空間に対するゴレンスタイン予想を確認する。
• フルトン＝マクフィアソンコンパクト化 $ X[n] $ のタウトロジカルな環 $ R^*(X[n]) $ と $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ の間に自然な同型が存在し、配置空間のタウトロジカルな環とモジュライ空間のタウトロジカルな環との間の橋渡しを確立する。
• $ R^2(X^3) $ および $ R^3(X^6) $ における二つの基本的関係を含む、$ R^*(X^n) $ の関係は、$ R^*(X^n) $ および $ R^*(X[n]) $ のゴレンスタイン性質を示す上で不可欠である。
• $ R^2(M_{2,n}^{rt}) $ において、$ D_I \cdot D_J $ は $ I \subseteq J $、$ J \subseteq I $、または $ I \cap J = \emptyset $ でない限り消える。これは、サイズが 3 以上の部分集合に対して $ R^*(\overline{M}_{2,n}) $ 内でも成立する。
• $ \prod_{i \neq j \in I} (d_{i,j} - \sum_{I \subseteq J} D_J) $ の展開におけるすべての単項式が $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ 内で消えることから、モジュライ空間上での特性多項式関係の消滅が確認される。
• $ R^*(X[n]) \to R^*(M_{2,n}^{rt}) $ の同型は、$ X[n] $ 上のすべてのタウトロジカル関係（$ P_{W/X^n}(t) $ からのものも含む）が $ R^*(M_{2,n}^{rt}) $ に下方に降下し、消えることを示すことによって確立され、ゴレンスタイン構造の証明が完成する。