[論文レビュー] The Transmutation Method and Boundary-Value Problems for Singular Differential Equations

Valeriy V Katrakhov, С. М. Ситник|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2018

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 112被引用数 9

ひとこと要約

本書は、ベッセル型特異性および本質的特異性を示す解をもつ楕円型微分方程式を含め、特異微分方程式の変換作用素の理論を体系的に展開する。特に、普遍的合成法による変換作用素の新規構成を導入し、重み付き境界値問題やシュレーディンガー方程式の指数的成長推定に応用することで、鋭いカーネル推定と新しい積分表現を提供する。

ABSTRACT

The main content of this book is composed from two doctoral theses: by V.\,V.~Katrakhov (1989) and by S.\,M.~Sitnik (2016). In our work, for the first time in the format of a monograph, we systematically expound the theory of transmutation operators and their applications to differential equations with singularities in coefficients, in particular, with Bessel operators. Along with detailed survey and bibliography on this theory, the book contains original results of the authors. Significant part of these results is published with detailed proofs for the first time. The book is concluded with a brief biographic essay about Valeriy V.~Katrakhov, as well as detailed bibliography containing 648 references.

研究の動機と目的

• 特異係数をもつ微分方程式の変換作用素の包括的な独創的処理を確立すること。特に、ベッセル作用素を含むものについて。
• 本質的特異性を示す解をもつ特異楕円型方程式の新しいクラスの重み付き境界値問題に取り組むこと。
• 鋭いカーネル推定をもつ変換作用素を構成するための普遍的合成法を開発すること。
• 定常シュレーディンガー方程式の解の指数的成長推定に関するランドイス問題の特殊ケースを解明すること。
• 詳細な証明と新規応用を通じて、既存のソニン、ポアソン、バッシュマン–エルデリの変換作用素の結果を統合・拡張すること。

提案手法

• 特異微分方程式をより単純な形に変換するための基礎的道具として、ソニンおよびポアソン型変換作用素の理論を用いる。
• 特別な形のバッシュマン–エルデリ変換作用素を適用し、重み付きソボレフ空間とイ. ア. キプリヤノフの空間との同値性を確立する。
• より単純な作用素の反復的合成を通じて、変換作用素を構成する普遍的合成法を導入する。
• リーマン–リーマン分数階積分およびハンケル変換を含む積分変換を用いて、関数空間および変換カーネルの解析を行う。
• 変換作用素技法を応用し、オイラー–ポアソン–ダルブー型およびクライン–ゴードン型方程式の解の新しい表現および推定を導出する。
• 一般化関数および重み付き関数空間 $H_{\nu}^{s}$ の理論を用いて、分数階非局所条件をもつ半空間における境界値問題を定式化・解明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベッセル型係数をもつ特異微分方程式に対して、変換作用素を体系的にどのように構成できるか。
• RQ2 バッシュマン–エルデリ変換作用素は、特異解を示す楕円型方程式の新しいクラスの重み付き境界値問題を解く上で果たす役割は何か。
• RQ3 摂動されたベッセル型方程式に対して、鋭いカーネル推定をもつ変換作用素を生成するための普遍的合成法を開発できるか。
• RQ4 定常シュレーディンガー方程式の解の指数的成長推定は、正確にはどのように求まるか。また、変換作用素理論を用いてそれらを導出できるか。
• RQ5 変換作用素は、重み付きソボレフ空間とキプリヤノフ型関数空間におけるノルムの同値性とどのように関係するか。

主な発見

• 本書は、初めてとして、特異係数（ベッセル作用素を含む）をもつ微分方程式の変換作用素の体系的理論を独著形式で提示する。
• 摂動されたベッセル型微分方程式に対して、カーネルの鋭い推定をもつ新しいクラスの変換作用素が構成される。
• 変換作用素を構成するための普遍的合成法が導入され、新規の解および表現の生成に応用される。
• 特異楕円型方程式の新しいクラスの重み付き境界値問題がソニンおよびポアソン変換作用素を用いて定式化され、解かれる。
• バッシュマン–エルデリ変換作用素の応用により、イ. ア. キプリヤノフの重み付き空間とS. L. ソボレフの重み付き空間におけるノルムの同値性が確立される。
• 変換作用素技法を用いることで、ランドイス問題の特殊ケースが解明され、定常シュレーディンガー方程式の解の成長に関する指数的推定が導出される。