[論文レビュー] The twisting procedure

Vladimir Dotsenko, Sergey Shadrin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

本稿はホモトピー代数におけるねじり操作の概念的枠組みを提供し、微分 graded Lie 代数、結合代数、およびオペラッドにおけるMaurer–Cartan 要素がゲージ群作用を通じて新しいホモトピー代数を生成することを示している。オペラッドが意味のあるねじり操作を許容するための基準を確立し、グラフ複体のコホモロジーを計算することで、ねじられた BV オペラッドの次数 0 コホモロジーが Gerstenhaber オペラッドと同型であることを確認し、Grothendieck–Teichmüller 群への含意を示している。

ABSTRACT

This paper provides a conceptual study of the twisting procedure, which amounts to create functorially new differential graded Lie algebras, associative algebras or operads (as well as their homotopy versions) from a Maurer--Cartan element. On the way, we settle the integration theory of complete pre-Lie algebras in order to describe this twisting procedure in terms of gauge group action. We give a criterion on quadratic operads for the existence of a meaningful twisting procedure of their associated categories of (homotopy) algebras. We also give a new presentation of the twisting procedure for operads à la Willwacher and we perform new homology computations of graph complexes.

研究の動機と目的

• 微分 graded 代数およびオペラッドにおけるねじり操作の概念的かつファンクター的な枠組みを提供すること。
• そのホモトピー圏において意味のあるねじり操作を許容するための二次的オペラッドの基準を確立すること。
• 完全な pre-Lie 代数上のゲージ群作用を通じて、ねじり操作を完全な設定における変形理論と統合的に記述すること。
• 新しい代数的表現に基づき、Willwacher の非対称オペラッドのねじりを再解釈・一般化すること。
• グラフ複体のホモロジーを計算し、特にねじられた BV オペラッドのコホモロジーが Gerstenhaber オペラッドと同型であることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、ねじり操作の背後にあるゲージ群作用をモデル化するため、完全な pre-Lie 代数の統合理論を構築した。
• 彼らは、曲がった $\mathcal{A}_\infty$-および $\mathcal{L}_\infty$-代数上で、Maurer–Cartan 要素をねじりパラメータとして用いるゲージ作用としてねじり操作を定義した。
• 彼らは、フィルトレーションおよび完全な畳み込み代数構造に基づく、非対称オペラッドのねじり操作の新しい表現を導入した。
• 彼らは、$\Delta$ によってラベル付けられた入力の数でフィルターをかけることで、BV オペラッドのねじられた変形複体のコホモロジーを計算するためのスペクトル系列を用いた。
• 彼らは、最初のスペクトル系列のコチェイン複体が、コオーギュメントされたコアルゲブラの cobar 構成と同一視できることを示し、$E^2$-頁のコホモロジーの計算を可能にした。
• 彼らは、$\mathrm{Tw}\operatorname{BV}(n)$ のコホモロジーが、$\operatorname{Gerst}^+$ に対応する要素 $\lambda^{(\sigma,\bar{0},\bar{*})}$ によって張られることを確立した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじり操作は、ホモトピー代数上でゲージ群作用としてどのように体系的に理解できるか？
• RQ2 二次的オペラッドがそのホモトピー代数上で意味のあるねじり操作を許容するための条件は何か？
• RQ3 BV オペラッドのねじられた変形複体のコホモロジー構造は何か？
• RQ4 非対称オペラッドのねじりは、グラフ複体ホモロジーおよび Grothendieck–Teichmüller 群とどのように関係するか？
• RQ5 完全な pre-Lie 代数は、曲がった $\mathcal{L}_\infty$-代数に対するゲージ作用の統合において果たす役割は何か？

主な発見

• ねじられた BV オペラッド $\mathrm{Tw}\operatorname{BV}(n)$ のコホモロジーは、Gerstenhaber オペラッド $\operatorname{Gerst}^+$ と同型であり、$\bar{*} = (-,\dots,-)$ のとき、要素 $\lambda^{(\sigma,\bar{0},\bar{*})}$ によって構成される基底を持つ。
• $\mathrm{H}(\mathrm{Tw}\operatorname{BV})$ を計算するスペクトル系列は $E^2$-頁で収束し、$E^2 \cong \mathrm{H}(\Lambda(J))$ であり、$\lambda^{(\sigma,\bar{0},\bar{*})}$ によって張られる。
• 変形複体の最初のスペクトル系列は、$|x|=0$, $|y|=|z|=1$, および $\Delta(y) = x\otimes z - z\otimes x$ を満たすコオーギュメントされたコアルゲブラ $C = \mathbb{k}1 \oplus \mathbb{k}x \oplus \mathbb{k}y \oplus \mathbb{k}z$ の cobar 構成と同型である。
• 第 $E^1$-頁での微分は $d^1(yZ^kX^l) = (-1)^{l+1}xZ^{k+1}X^l$ であり、$d^1(xZ^kX^l) = 0$ である。これにより $E^2$ は $xX^l$（$l \geq 0$）によって張られる。
• $\mathrm{Def}(\mathcal{S}^{-1}\mathcal{L}_\infty \to \operatorname{BV})$ の次数 1 コホモロジーの作用が $\mathrm{H}(\mathrm{Tw}\operatorname{BV})$ に与える影響は、$\operatorname{Gerst}^+$ の次数 1 微分 $\mu \mapsto \lambda$ に対応する。
• $\mathcal{S}^{-1}\mathcal{A}_\infty \to \operatorname{BV}$ の写像の非自明な無限小変形類は、$\operatorname{Gerst}^+$ 内の $\lambda$-作用に対応する1次元である。