[論文レビュー] The wild McKay correspondence and $p$-adic measures

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$p$-進測度を用いて、野生的 McKay 対応の点数化された形を確立し、商多様体 $X = V/G$ のストリング理論的点数が、$G$-多様体 $V$ の $G$-ストリング理論的点数と一致することを証明する。この結果により、局所体における Serre と Bhargava の質量公式の新たな、より素朴な証明が得られ、モチーフ的不変量が $p$-進体積として実現されることによって可能になる。

ABSTRACT

We prove a version of the wild McKay correspondence by using $p$-adic measures. This result provides new proofs of mass formulas for extensions of a local field by Serre, Bhargava and Kedlaya.

研究の動機と目的

• 動機的積分ではなく $p$-進測度を用いて、正または混合特徴を持つ場合（野生的ケース）への McKay 対応の拡張を図ること。
• 有限残渣体をもつ完全な離散付値環上の $G$-多様体に対して、ストリング理論的不変量の点数化実現を提供すること。
• 予想的なモジュライ空間を避けることで、局所体拡張の質量公式に対するより単純で、より素朴な証明を提供すること。
• 動機的 $E$-関数およびオルビフォールド $E$-関数を、$p$-進体積の点数化を通じて野生的状況に一般化すること。

提案手法

• ストリング理論的点数 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D)$ を、自然な測度に関する $X(\mathcal{O}_K)$ の $p$-進体積として定義する。
• $G$-ストリング理論的点数 $\sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$ を、$G$-エタール $K$-代数 $M$ における重み付き和として定義し、各 $M$ に対する重み $\sharp_{\mathrm{st}}^M(V,E)$ を、$G$-可換な $\mathcal{O}_K$-準同型 $\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}_M \to V$ の $p$-進体積として与える。
• $X = V/G$ および $G$-安定な被覆写像 $(V,E) \to (X,D)$ に対して、$p$-進測度の技法を用いて $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$ を証明する。
• $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sum_{x \in X(k)} \sharp_{\mathrm{st}}(X,D)_x$ および $\sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E) = \sum_M \sharp_{\mathrm{st}}^M(V,E)$ の分解を用いて、局所的寄与と群作用との関係を明らかにする。
• 既知の Hilbert 様式の点数および分割構造を用いて、対称群作用における $\sharp_{\mathrm{st}}(V/S_n)$ を計算する。
• 等式を応用し、$p$-進体積の計算と既知の分割関数および判別式指数を一致させることで、Bhargava および Serre の質量公式を再証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動機的積分ではなく $p$-進測度を用いることで、正または混合特徴を持つ場合の野生的 McKay 対応を確立できるか？
• RQ2 有限群 $G$ が正規 quasi-射影的 $\mathcal{O}_K$-多様体 $V$ に作用するとき、商多様体 $V/G$ のストリング理論的点数は、$V$ の $G$-ストリング理論的点数と一致するか？
• RQ3 この対応関係を用いて、Serre や Bhargava のような既知の局所体の質量公式を再導出できるか？
• RQ4 $\mathcal{O}_K$-点における $p$-進測度は、野生的状況におけるモチーフ的不変量（例えばストリング理論的 $E$-関数）とどのように関係するか？
• RQ5 $G$-エタール代数は、ストリング理論的不変量を重み付き点数として実現する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 主な結果 $\sharp_{\mathrm{st}}(X,D) = \sharp_{\mathrm{st}}^G(V,E)$ は、$G$-多様体 $V$ と $G$-安定な除数 $E$ に対して成り立ち、$X = V/G$ かつ写像が折りたたみ可能となるように $D$ を押し出された除数とする。
• $V = \mathbb{A}_{\mathcal{O}_K}^n$ で $G$-作用が線形で $E = 0$ の場合、$M$-ストリング理論的点数は $\sharp_{\mathrm{st}}^M V = \frac{q^{n - \mathbf{v}_V(M)}}{\sharp \mathrm{Aut}^G(M/K)}$ となる。ここで $\mathbf{v}_V(M)$ は $G$-作用を符号化する関数である。
• $n$-次の対称積 $\mathrm{Hilb}^n(\mathbb{A}_{\mathcal{O}_K}^2)$ のストリング理論的点数は、Hilbert 様式の点数を用いて $\sum_{i=0}^{n-1} P(n,n-i) q^{2n - i}$ として計算される。
• $\sharp_{\mathrm{st}}^G V = \sharp_{\mathrm{st}}(V/G)$ の等式から、Bhargava の質量公式が導かれる：$\sum_{M \in S_n\text{-}\acute{\mathrm{E}}t(K)} \frac{q^{-\mathbf{v}_V(M)}}{\sharp C_{S_n}(H)} = \sum_{i=0}^{n-1} P(n,n-i) q^{-i}$。
• Serre の質量公式は、Bhargava の公式に逆順の指数公式を適用することで得られ、フレームワーク全体の整合性が示される。
• 従来のモチーフ的手法で用いられる予想的なモジュライ空間を避けることで、野生的 McKay 対応の主要結果に対するより短く、より素朴な証明が可能になった。