[論文レビュー] Toric Kähler-Einstein metrics and convex compact polytopes

Éveline Legendre|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意のコンpactな凸な単純な格子多面体が、その対応するトーリック軌道にケーラー–アインシュタイン計量を備えるような、内法線による一意的（スケーリングを除いて）ラベリングを有することを確立する。ワング–ズーの定理を軌道に拡張し、ギユイニョン境界条件およびケーラー–アインシュタイン方程式を満たすシンプレクティックポテンシャルを構成することにより、著者は、ラベリングによって決定される特異性型を持つ、トーリック多様体上での特異ケーラー–アインシュタイン計量の存在を証明する。

ABSTRACT

We show that any compact convex simple lattice polytope is the moment polytope of a Kähler-Einstein orbifold, unique up to orbifold covering and homothety. We extend the Wang-Zhu Theorem \cite{WZ} giving the existence of a Kähler-Ricci soliton on any toric monotone manifold on any compact convex simple labelled polytope satisfying the combinatoric condition corresponding to monotonicity. We obtain that any compact convex simple polytope $P\subset \bR^n$ admits a set of inward normals, unique up to dilatation, such that there exists a symplectic potential satisfying the Guillemin boundary condition (with respect to these normals) and the Kähler-Einstein equation on $P imes \bR^n$. We interpret our result in terms of existence of singular Kähler-Einstein metrics on toric manifolds.

研究の動機と目的

• 任意のコンパクトで凸かつ単純な格子多面体が、その対応するトーリック軌道がケーラー–アインシュタイン計量を備えるような内法線によるラベリングを有することを証明すること。
• 組合せ的ラベリングを用いて、ケーラー–リッチソリトンに関するワング–ズーの定理を単調なトーリック軌道に拡張すること。
• ギユイニョン境界条件およびケーラー–アインシュタイン方程式を満たす多面体上でのシンプレクティックポテンシャルの構成。
• 結果を、制御された角型または滑らかな特異性を有するトーリック多様体上での特異ケーラー–アインシュタイン計量の観点から解釈すること。
• このようなラベリングにおいて極値アフィン関数が定数であることを示し、Futaki不変量が消えること、およびcscK計量の存在を示すこと。

提案手法

• デルザント–レルマン–トロルマン対応を用い、有理ラベリング付き多面体からシンプレクティックトーリック軌道を関連付ける。
• 内法線 ν を持つ多面体 P 上に、ギユイニョン境界条件を満たすシンプレクティックポテンシャル u ∈ S(P,ν) を構成する。
• アブレーの公式を適用し、u のヘッシアンを用いてスカラー曲率 S(u) を表現し、これにより極値アフィン関数 A(P,ν) と関連付ける。
• P × ℝⁿ 上で S(u) = 2nλ（λ > 0）というケーラー–アインシュタイン方程式を課し、ポテンシャル u に対する完全非線形偏微分方程式を導出する。
• ラベリング ν が、(P,ν) が単調的であり、かつ A(P,ν) が定数となるようなものとして一意的（スケーリングを除いて）であることを用い、Futaki不変量の消滅を保証する。
• 計量のアンサンブルにおけるパrameter a に基づき、内法線 ν と η の比を用いて、トーリック除集合に沿う特異性の型を分析し、角型、滑らか、または非明確な特異性を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクトで凸かつ単純な格子多面体は、その対応するトーリック軌道がケーラー–アインシュタイン計量を備えるような内法線によるラベリングを有するか？
• RQ2 ラベリング付き多面体にどのような組合せ的条件が成立すれば、Futaki不変量の消滅を通じてケーラー–アインシュタイン計量の存在が保証されるか？
• RQ3 ギユイニョン境界条件およびケーラー–アインシュタイン方程式を両方満たす多面体上でのシンプレクティックポテンシャルをどのように構成できるか？
• RQ4 トーリック多様体上でのケーラー–アインシュタイン計量にどのような種類の特異性が生じるか、そしてそれらは多面体のラベリングによってどのように決定されるか？
• RQ5 与えられた多面体に対して、ケーラー–アインシュタイン構造を備える内法線ラベリングは（スケーリングを除いて）一意的か？

主な発見

• 任意のコンパクトで凸かつ単純な格子多面体は、その対応するトーリック軌道がケーラー–アインシュタイン計量を備えるような、内法線 ν による一意的（スケーリングを除いて）ラベリングを有する。
• ラベリングにより極値アフィン関数 A(P,ν) が定数となることが保証され、これによりFutaki不変量が消え、定数スカラー曲率ケーラー計量の存在が示される。
• P × ℝⁿ 上に、ギユイニョン境界条件およびケーラー–アインシュタイン方程式 S(u) = 2nλ（λ > 0）を満たすシンプレクティックポテンシャル u が存在する。
• 得られるトーリック多様体上のケーラー計量は、トーリック除集合に沿って特異性を示し、λaₖνₖ = ηₖ かつ aₖ < 1 のとき角型特異性を示す。
• 最初のヒルツェブルク表面に対して、C = 1 の計量は、角度 2π·5/7 の特異性をもたらし、リッチ曲率が (6/7)ω 以上である Székelyhidi の構成の極限ケースと一致する。
• 特異性の型は、内法線 ν と η の比にのみ依存し、内部で微分同相写像 Φᵤ⁻¹∘Φᵤ₀ がケーラー構造を保ちながら特異性を解消する。