[論文レビュー] Toward Instance-Optimal State Certification With Incoherent Measurements

Sitan Chen, Jerry Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2021

Random Matrices and Applications参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非適応的非相関測定を用いた量子状態認証におけるインスタンス最適なコピー複雑度の境界を確立し、必要なコピー数が $\Theta(f(\sigma)/\varepsilon^2)$ のスケールで増加することを示している。ここで $f(\sigma)$ は $\sigma$ と最大混合状態との間の忠実度に比例する。驚くべきことに、この量子境界は古典的インスタンス最適境界とは本質的に異なり、古典的および量子的性質テストにおける根本的な違いを示している。

ABSTRACT

We revisit the basic problem of quantum state certification: given copies of unknown mixed state $ρ\in\mathbb{C}^{d imes d}$ and the description of a mixed state $σ$, decide whether $σ= ρ$ or $\|σ- ρ\|_{\mathsf{tr}} \ge ε$. When $σ$ is maximally mixed, this is mixedness testing, and it is known that $Ω(d^{Θ(1)}/ε^2)$ copies are necessary, where the exact exponent depends on the type of measurements the learner can make [OW15, BCL20], and in many of these settings there is a matching upper bound [OW15, BOW19, BCL20]. Can one avoid this $d^{Θ(1)}$ dependence for certain kinds of mixed states $σ$, e.g. ones which are approximately low rank? More ambitiously, does there exist a simple functional $f:\mathbb{C}^{d imes d} o\mathbb{R}_{\ge 0}$ for which one can show that $Θ(f(σ)/ε^2)$ copies are necessary and sufficient for state certification with respect to any $σ$? Such instance-optimal bounds are known in the context of classical distribution testing, e.g. [VV17]. Here we give the first bounds of this nature for the quantum setting, showing (up to log factors) that the copy complexity for state certification using nonadaptive incoherent measurements is essentially given by the copy complexity for mixedness testing times the fidelity between $σ$ and the maximally mixed state. Surprisingly, our bound differs substantially from instance optimal bounds for the classical problem, demonstrating a qualitative difference between the two settings.

研究の動機と目的

• 最悪ケースの混合状態を超えた量子状態認証の複雑度に関する理解のギャップを埋めること。
• 非適応的非相関測定を用いて、$\sigma$ の関数的であるコピー複雑度に比例するインスタンス最適境界が達成可能かどうかを特定すること。
• 実用的なメモリおよび時間制約を伴う近い将来の量子検証プロトコルの理論的基盤を確立すること。
• 性質テストにおける古典的および量子的インスタンス最適境界の間の根本的な違いを示すこと。

提案手法

• 非適応的非相関測定を分析するための、尤度比解析とワインガルテン計算に基づく一般化された下界フレームワークを開発する。
• 高次元状態構造を扱い、推定の分散を低減するための、新たなバケツ化と質量除去技術を導入する。
• 密度行列 $\sigma$ を固有値の大きさが減少するブロックに再帰的に分解することで、適応的誤差制御を可能にする。
• ハール乱数射影と二項仮説検定のサブルーチンを用いて、対角成分と非対角成分を別々にテストする認証アルゴリズムを設計する。
• 統計的保証を維持しながらゲート効率の良い実装を可能にするために、ハール測度の代わりに近似4デザインを用いる。
• 尾部確率の境界とブロック行列解析を用いて、複数の測定ラウンドにわたる誤差伝播を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適応的非相関測定を用いて、ターゲット状態 $\sigma$ の関数的依存性を持つインスタンス最適な状態認証が達成可能か？
• RQ2 非最大混合状態に対して、非相関測定のみを許容する場合、状態認証のコピー複雑度はどのようにスケーリングするか？
• RQ3 性質テストにおける古典的および量子的インスタンス最適境界の間に根本的な違いがあるか？
• RQ4 低ランクまたは近似的に低ランクな $\sigma$ のような構造的状態に対して、最悪ケースの認証における $d^{3/2}$-依存性を改善できるか？
• RQ5 非相関測定下での状態認証の最適コピー複雑度を特徴付ける正確な関数的 $f(\sigma)$ は何か？

主な発見

• 非適応的非相関状態認証のコピー複雑度は、$\widetilde{\Theta}(\|\sigma - \tau_d\|_2^{-1}/\varepsilon^2)$ である。ここで $\tau_d$ は最大混合状態であり、多項式対数要因を除いて成立する。
• 境界は全次元 $d$ ではなく、$\sigma$ と最大混合状態との間の $\ell_2$-距離に依存しており、最大混合状態に近い状態では性能が向上することを示している。
• 提案されたアルゴリズムは、対数要因を除いてインスタンス最適な性能を達成しており、特定の $\sigma$ に対して最悪ケースの $O(d^{3/2}/\varepsilon^2)$ の境界を大幅に改善している。
• 驚くべきことに、古典的および量子的インスタンス最適境界の間には本質的な違いが存在する：量子境界は最大性からの偏差の $\ell_2$-ノルムに依存するが、古典的境界は $\ell_1$-ベースである。
• 解析により、最悪ケースの境界における $d^{3/2}$-依存性は、問題の本質的複雑性ではなく、非相関測定の構造に起因することが明らかになった。
• アルゴリズムは近似4デザインを用いることで、$O(N \cdot \mathrm{polylog}\, d)$ の時間計算量で効率的に実装可能である。